(Bài toán thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng) Một trung tâm dạy nghề cần thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng của một học viên theo học nghề đánh máy. Người ta có thể làm như sau:

• Để xây dựng mô hình toán học cho bài toán trên, ta sử dụng thống kê. Bằng cách khảo sát tốc độ đánh máy trung bình S (tính bằng từ trên phút) của học viên đó sau 1 tuần học (5 ≤ t ≤ 30), ta thu thập các số liệu thống kê được cho trong Bảng 1 (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

• Ta cần chọn hàm số y = f (t) để biểu diễn các số liệu ở Bảng 1, tức là ở hệ trục toạ độ Oxy, đồ thị của hàm số đó trên khoảng (0 ; + \[\infty \]) “gần” với các điểm A(5 ; 38), B(10 ; 56), C(15 ; 79), D(20 ; 90), E(25 ; 93), G(30 ; 94). Ngoài ra, do tốc độ đánh máy trung bình của học viên tăng theo thời gian t và chỉ đến một giới hạn M nào đó cho dù thời gian t có kéo dài đến vô cùng nên hàm số y = f (t) phải thỏa mãn thêm hai điều kiện: Hàm số đó ĐB trên khoảng (0 ; + \[\infty \]) và \[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f(t) = M \in \mathbb{R},M > 94\]. Vì các hàm đa thức (với bậc lớn hơn hoặc bằng 1) không thỏa mãn hai điều kiện đó nên ta chọn một hàm phân thức hữu tỉ để biểu diễn các số liệu ở Bảng 1.

Ta có thể chọn hàm số có dạng \[f(t) = \frac{{at + b}}{{ct + d}}\]  (ac ≠ 0) cho mục đích đó. Dựa vào Bảng 1, ta chọn hàm số:

\[f(t) = \frac{{110t - 280}}{{t + 2}},(t > 0)\]

a) Dựa theo mô hình đó, dự đoán tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau 40 tuần (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của từ/phút)

b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên khoảng (0 ; + \[\infty \]), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

c) Nêu nhận xét về tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau thời gian t ngày càng lớn.

Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức: \[f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\] (f(t) được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam)

a) Tính số dân của thị trấn vào năm 2022 (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right)\]. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số f(t).

c) Đạo hàm của hàm số y=f(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm).

c1) Tính tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn đó.

c2) Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm?

Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là h(t) = 2+24,5t – 4,9t2 (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây.

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích 200 m² để trồng vài loại cây mới. Anh dự kiến rào quanh ba cạnh của khu đất hình chữ nhật này bằng lưới thép, cạnh còn lại (chiều dài) sẽ tận dụng bức tường có sẵn (Hình vẽ). Do điều kiện địa lí, chiều rộng khu đất không vượt quá 15 m, hỏi chiều rộng của khu đất này bằng bao nhiêu để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất (nghĩa là chi phí rào lưới thép thấp nhất)?

Một phần đường ray tàu lượn siêu tốc có dạng đồ thị hàm số bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, (\[a \ne 0\]). Trục Ox mô tả quãng đường tàu di chuyển theo chiều ngang (tính bằng centimét), trục Oy mô tả chiều cao của đường ray (tính bằng centimét) tại mỗi vị trí x. Chiều cao xuất phát là 50 cm. Tàu xuống dưới mặt đất lần thứ nhất từ vị trí x = 20 cm, tàu lên khỏi mặt đất ở vị trí x = 50 cm và sau đó xuống dưới mặt đất lần thứ hai ở vị trí x = 100 cm.

Xét đồ thị của hàm số đã cho khi x \[ \in \] [0; 100] như hình vẽ:

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa (1 ≤ x ≤ 18). Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: C (x) = x³ – 3x² – 20x + 500.

Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi B (x) là số tiền bán được và L (x) là lợi nhuận thu được khi bán x mét vải lụa.

a) Hãy viết biểu thức tính B (x) và L (x) theo x.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số L (x) trên [1; 18].

c) Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa? Tính lợi nhuận tối đa đó.

Giả sử chi phí C(x) (nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi hàm số C(x)= 30 000 + 300x − 2,5x² + 0,125x³.

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm C'(200) và giải thích ý nghĩa.

c) So sánh C'(200) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201.

Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số \[P(t) = \frac{a}{{b + {e^{ - 0,75t}}}}\], trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t= 0, quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của a và b. Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?