Câu hỏi:

19/08/2025 525 Lưu

Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số \[P(t) = \frac{a}{{b + {e^{ - 0,75t}}}}\], trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t= 0, quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của a và b. Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack
Ta có: \[P'(t) = \frac{{0,75a{e^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {b + {e^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}},t \ge 0\]
Theo đề bài, ta có: P(0) = 20 và P’(0) = 12. Do đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{b + 1}} = 20\\\frac{{0,75a}}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} = 12\end{array} \right.\]
Giải hệ phương trình này, ta được a = 25 và b = \[\frac{1}{4}\]
Khi đó, \[P'(t) = \frac{{18,75{e^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {\frac{1}{4} + {e^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}} > 0,\forall t \ge 0\], tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.
Tuy nhiên, do \[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{25}}{{\frac{1}{4} + {e^{ - 0,75t}}}} = 100\] nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Ta có: \[f(52) = \frac{{26.52 + 10}}{{52 + 5}} = \frac{{1362}}{{57}} \approx 23,895\] (nghìn người).
Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23 895 người.
b) 1) Sự biến thiên
• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f(t) = 26\] . Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\[f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} > 0\] với mọi t≥0.
Bảng biến thiên
Media VietJack
Hàm số ĐB trên nửa khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right)\]. Hàm số không có cực trị.

2) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0:2).

• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1 ; 6).

Vậy đồ thị hàm số \[y = f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0\] thể hiện như hình vẽ dưới đây:
Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức: f(t)=26t+10/t+5 (ảnh 1)
c)
c1) Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn là: \[f'(52) = \frac{{120}}{{{{\left( {52 + 5} \right)}^2}}} = \frac{{40}}{{1083}}\]
c2)  Ta có: \[f'(t) = 0,192 \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} = 0,192 \Leftrightarrow t = 20{\rm{ }}(do{\rm{ }}t \ge 0)\]
Vậy vào năm 1990, thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm.

Lời giải

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là v = h’(t)=24,5 – 9,8t (m/s).

Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là v(2) =24,5–9,8.2=4,9 (m/s).
b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = –4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại \[t =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{24,5}}{{2.4,9}} = 2,5\] (giây). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m).
c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là h=2+24,5t – 4,9t2 =0, hay t \[ \approx \] 5,08 (giây).
Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08)=24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s).
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).