Câu hỏi:

06/08/2025 9 Lưu

Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8 km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến B, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc chạy bộ là 8 km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).

Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8 km (ảnh 1)

Nhắc lại rằng nếu C(x) là hàm chi phí, tức là chi phí sản xuất x đơn vị của một sản phẩm nào đó, thì chi phí biên là tốc độ thay đổi của C đối với x, tức là đạo hàm C'(x).

Gọi p(x) là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán x đơn vị. Khi đó, p được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và chúng ta mong đợi đó là một hàm giảm của x. Nếu x đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là p(x) thì tổng doanh thu là: R(x) = x. p(x) và R(x) được gọi là hàm doanh thu. Đạo hàm R'(x) của hàm doanh thu được gọi là hàm doanh thu biên và là tốc độ thay đổi của doanh thu đối với số lượng đơn vị sản phẩm bán ra.

Nếu x đơn vị được bán, thì tổng lợi nhuận là P(x) = R(x) - C(x) và P(x) được gọi là hàm lợi nhuận. Hàm lợi nhuận biên là đạo hàm P'(x) của hàm lợi nhuận.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Gọi p (nghìn đồng) là giá của mỗi vé; x là số khán giả mua vé. Ta cần xác định hàm cầu p = p(x). Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số p = p(x) là hàm số bậc nhất.

Giá vé \[{p_1}\] = 100 ứng với \[{x_1}\] = 27 000 và giá vé \[{p_2}\] = 90 ứng với \[{x_2}\] = 27 000 + 3 000 = 30 000.

Do đó, phương trình đường thẳng p = ax + b đi qua hai điểm (27 000; 100) và (30 000; 90)

là \[p - 100 = \frac{{100 - 90}}{{27{\rm{ }}000 - 30{\rm{ }}000}}\left( {x - 27{\rm{ }}000} \right)\] hay \[p - 100 =  - \frac{1}{{300}}\left( {x - 27{\rm{ }}000} \right)\] tức là x = −300p +57 000.

Hàm doanh thu từ tiền bán vé là: R(p) = px = p(-300p+57 000) = -300p2 +57 000 p.

Ta cần tìm p sao cho R đạt giá trị lớn nhất. Ta có: R'(p)=-600p+57 000; R'(p)=0 \[ \Leftrightarrow \] p=95.

Bảng biến thiên:

Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8 km (ảnh 2)
Vậy với giá vé là 95 nghìn đồng một vé thì doanh thu bán vé là lớn nhất.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Khi bán x mét vải lụa:
Số tiền thu được là: B (x) = 220x (nghìn đồng).
Lợi nhuận thu được là: L (x) = B (x) – C (x) = –x3 + 3x2 + 240x – 500 (nghìn đồng).
b) Hàm số L (x) xác định trên [1; 18].
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:

Đạo hàm L '(x) = –3x2 + 6x + 240; L '(x) = 0 ⇔ x = 10 hoặc x = –8 (loại).

Trên khoảng (1; 10), L '(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
Trên khoảng (10; 18), L '(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
+ Cực trị: Hàm số L(x) đạt cực đại tại x = 10 và LCĐ = L(10) = 1 200.
+ Bảng biến thiên:
Media VietJack
– Đồ thị:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (10; 1 200) và đi qua các điểm (1; –258), (18; –1 040) như Hình 8.
Media VietJack
c) Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy khi x = 10 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1 200.
Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa này là 1 200 nghìn đồng.

Lời giải

Ta có: \[P'(t) = \frac{{0,75a{e^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {b + {e^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}},t \ge 0\]
Theo đề bài, ta có: P(0) = 20 và P’(0) = 12. Do đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{b + 1}} = 20\\\frac{{0,75a}}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} = 12\end{array} \right.\]
Giải hệ phương trình này, ta được a = 25 và b = \[\frac{1}{4}\]
Khi đó, \[P'(t) = \frac{{18,75{e^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {\frac{1}{4} + {e^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}} > 0,\forall t \ge 0\], tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.
Tuy nhiên, do \[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{25}}{{\frac{1}{4} + {e^{ - 0,75t}}}} = 100\] nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.

Câu 7

(Bài toán thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng) Một trung tâm dạy nghề cần thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng của một học viên theo học nghề đánh máy. Người ta có thể làm như sau:

• Để xây dựng mô hình toán học cho bài toán trên, ta sử dụng thống kê. Bằng cách khảo sát tốc độ đánh máy trung bình S (tính bằng từ trên phút) của học viên đó sau 1 tuần học (5 ≤ t ≤ 30), ta thu thập các số liệu thống kê được cho trong Bảng 1 (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

(Bài toán thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng) Một trung tâm dạy nghề cần thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng của một học viên theo học nghề đánh máy (ảnh 1)

• Ta cần chọn hàm số y = f (t) để biểu diễn các số liệu ở Bảng 1, tức là ở hệ trục toạ độ Oxy, đồ thị của hàm số đó trên khoảng (0 ; + \[\infty \]) “gần” với các điểm A(5 ; 38), B(10 ; 56), C(15 ; 79), D(20 ; 90), E(25 ; 93), G(30 ; 94). Ngoài ra, do tốc độ đánh máy trung bình của học viên tăng theo thời gian t và chỉ đến một giới hạn M nào đó cho dù thời gian t có kéo dài đến vô cùng nên hàm số y = f (t) phải thỏa mãn thêm hai điều kiện: Hàm số đó ĐB trên khoảng (0 ; + \[\infty \]) và \[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f(t) = M \in \mathbb{R},M > 94\]. Vì các hàm đa thức (với bậc lớn hơn hoặc bằng 1) không thỏa mãn hai điều kiện đó nên ta chọn một hàm phân thức hữu tỉ để biểu diễn các số liệu ở Bảng 1.

Ta có thể chọn hàm số có dạng \[f(t) = \frac{{at + b}}{{ct + d}}\]  (ac ≠ 0) cho mục đích đó. Dựa vào Bảng 1, ta chọn hàm số:

\[f(t) = \frac{{110t - 280}}{{t + 2}},(t > 0)\]

a) Dựa theo mô hình đó, dự đoán tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau 40 tuần (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của từ/phút)

b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên khoảng (0 ; + \[\infty \]), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

c) Nêu nhận xét về tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau thời gian t ngày càng lớn.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP