Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8 km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến B, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc chạy bộ là 8 km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).

Nhắc lại rằng nếu C(x) là hàm chi phí, tức là chi phí sản xuất x đơn vị của một sản phẩm nào đó, thì chi phí biên là tốc độ thay đổi của C đối với x, tức là đạo hàm C'(x).

Gọi p(x) là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán x đơn vị. Khi đó, p được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và chúng ta mong đợi đó là một hàm giảm của x. Nếu x đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là p(x) thì tổng doanh thu là: R(x) = x. p(x) và R(x) được gọi là hàm doanh thu. Đạo hàm R'(x) của hàm doanh thu được gọi là hàm doanh thu biên và là tốc độ thay đổi của doanh thu đối với số lượng đơn vị sản phẩm bán ra.

Nếu x đơn vị được bán, thì tổng lợi nhuận là P(x) = R(x) - C(x) và P(x) được gọi là hàm lợi nhuận. Hàm lợi nhuận biên là đạo hàm P'(x) của hàm lợi nhuận.

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ (Hình vẽ bên dưới), nó được giới hạn bởi các trục toạ độ và đồ thị của hàm số: \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\]. Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục toạ độ là 100 m.

Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức: \[f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\] (f(t) được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam)

a) Tính số dân của thị trấn vào năm 2022 (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right)\]. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số f(t).

c) Đạo hàm của hàm số y=f(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm).

c1) Tính tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn đó.

c2) Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm?

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa (1 ≤ x ≤ 18). Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: C (x) = x³ – 3x² – 20x + 500.

Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi B (x) là số tiền bán được và L (x) là lợi nhuận thu được khi bán x mét vải lụa.

a) Hãy viết biểu thức tính B (x) và L (x) theo x.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số L (x) trên [1; 18].

c) Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa? Tính lợi nhuận tối đa đó.

Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là h(t) = 2+24,5t – 4,9t2 (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây.

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Giả sử chi phí cho xuất bản x cuốn tạp chí (gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in,…) được cho bởi công thức:

C(x) = 0,0001x² − 0,2x + 10 000,

trong đó C(x) được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng.

a) Tính tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí.

b) Tỉ số \[M(x) = \frac{{T(x)}}{x}\] được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Tính M(x) theo x và tìm số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất, biết rằng nhu cầu hiện tại xuất bản không quá 30 000 cuốn. Khi đó chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí là bao nhiêu?

Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích 200 m² để trồng vài loại cây mới. Anh dự kiến rào quanh ba cạnh của khu đất hình chữ nhật này bằng lưới thép, cạnh còn lại (chiều dài) sẽ tận dụng bức tường có sẵn (Hình vẽ). Do điều kiện địa lí, chiều rộng khu đất không vượt quá 15 m, hỏi chiều rộng của khu đất này bằng bao nhiêu để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất (nghĩa là chi phí rào lưới thép thấp nhất)?

Giả sử chi phí C(x) (nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi hàm số C(x)= 30 000 + 300x − 2,5x² + 0,125x³.

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm C'(200) và giải thích ý nghĩa.

c) So sánh C'(200) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201.