Câu hỏi:

19/08/2025 889 Lưu

Một phần đường ray tàu lượn siêu tốc có dạng đồ thị hàm số bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, (\[a \ne 0\]). Trục Ox mô tả quãng đường tàu di chuyển theo chiều ngang (tính bằng centimét), trục Oy mô tả chiều cao của đường ray (tính bằng centimét) tại mỗi vị trí x. Chiều cao xuất phát là 50 cm. Tàu xuống dưới mặt đất lần thứ nhất từ vị trí x = 20 cm, tàu lên khỏi mặt đất ở vị trí x = 50 cm và sau đó xuống dưới mặt đất lần thứ hai ở vị trí x = 100 cm.

Xét đồ thị của hàm số đã cho khi x \[ \in \] [0; 100] như hình vẽ:

Một phần đường ray tàu lượn siêu tốc có dạng đồ thị hàm số bậc ba: y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, (a≠0) (ảnh 1)

a) Tìm công thức hàm số f(x).

b) Tìm điểm cao nhất của đường ray khi tàu lên khỏi mặt đất và toạ độ điểm thấp nhất của đường ray khi tàu xuống dưới mặt đất.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Do đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm x = 20; x = 50, x = 100 nên phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm 20, 50, 100, từ đó ta có: y = a(x – 20)(x – 50)(x – 100).

Mặt khác, tại điểm x = 0 ta có y = 50, suy ra: 50 = a(0 – 20)(0 – 50 )(0 – 100) hay a = \[ - \frac{1}{{2000}}\].

Suy ra: \[y =  - \frac{1}{{2000}}\left( {x - 20} \right)\left( {x - 50} \right)\left( {x - 100} \right) =  - \frac{1}{{2000}}{x^3} + \frac{{17}}{{200}}{x^2} - 4x + 50\].

b) Các điểm cần thìm chính là các điểm cực trị của hàm số: \[y = f(x) =  - \frac{1}{{2000}}{x^3} + \frac{{17}}{{200}}{x^2} - 4x + 50\]

\[y' =  - \frac{3}{{2000}}{x^2} + 1\frac{{17}}{{200}}x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{100}}{3};x = 80\]

Ta có các điểm cực trị của hàm số f(x) là \[A\left( {\frac{{10}}{3}; - \frac{{200}}{{27}}} \right);B\left( {80;18} \right)\]

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Ta có: \[f(52) = \frac{{26.52 + 10}}{{52 + 5}} = \frac{{1362}}{{57}} \approx 23,895\] (nghìn người).
Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23 895 người.
b) 1) Sự biến thiên
• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f(t) = 26\] . Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\[f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} > 0\] với mọi t≥0.
Bảng biến thiên
Media VietJack
Hàm số ĐB trên nửa khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right)\]. Hàm số không có cực trị.

2) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0:2).

• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1 ; 6).

Vậy đồ thị hàm số \[y = f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0\] thể hiện như hình vẽ dưới đây:
Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức: f(t)=26t+10/t+5 (ảnh 1)
c)
c1) Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn là: \[f'(52) = \frac{{120}}{{{{\left( {52 + 5} \right)}^2}}} = \frac{{40}}{{1083}}\]
c2)  Ta có: \[f'(t) = 0,192 \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} = 0,192 \Leftrightarrow t = 20{\rm{ }}(do{\rm{ }}t \ge 0)\]
Vậy vào năm 1990, thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm.

Lời giải

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là v = h’(t)=24,5 – 9,8t (m/s).

Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là v(2) =24,5–9,8.2=4,9 (m/s).
b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = –4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại \[t =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{24,5}}{{2.4,9}} = 2,5\] (giây). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m).
c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là h=2+24,5t – 4,9t2 =0, hay t \[ \approx \] 5,08 (giây).
Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08)=24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s).
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).