Bác Lâm muốn gò một cái thùng bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông và đựng đầy được 32 lít nước. Gọi độ dài cạnh đáy của thùng là \(x\left( {{\rm{dm}}} \right)\), chiều cao của thùng là \(h\left( {{\rm{dm}}} \right)\).

a) Thể tích của thùng là \(V = {x^2} \cdot h\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

b) Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là: \(S = 4xh + {x^2}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

c) Đạo hàm của hàm số \(S\left( x \right) = \frac{{128}}{x} + {x^2}\) là \(S'\left( x \right) = \frac{{128}}{{{x^2}}} + 2x\).

d) Để làm được cái thùng mà tốn ít nguyên liệu nhất thì độ dài cạnh đáy của thùng là 4 dm.

Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng \(8 {\rm{m}}\) dây thép để làm các đường viền. Gọi \(x, y\) là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật.

a) Chiều dài dây để uốn ra bán nguyệt là \(\frac{{\pi x}}{2}\).

b) Giá trị của \(y\) tính theo \(x\) là \(4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}\).

c) Diện tích của cửa sổ là \(S = 4x - {x^2}\).

d) Khi diện tích của cửa sổ lớn nhất thì \(y = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\).

Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất \(x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\) nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 5 triệu đồng chi phí cố định; \(0,15\) triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; \(0,0005{x^2}\)chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là \(200\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Gọi \(C\left( x \right)\) là chi phí sản xuất \(x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\) sản phẩm mỗi ngày và \(\overline c \left( x \right)\) là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.

a) \(C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5\).

b) Chi phí sản xuất \(100\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nước tinh khiết là 20 triệu đồng.

c) \(\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\).

d) Chi phí trung bình giảm xuống khi sản lượng nước tính khiết trong ngày không vượt quá 100 \({{\rm{m}}^3}\).

Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( t \right) = 500\left( {{t^2} + m{e^{ - t}}} \right)\), với \(t \ge 0\) là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, \(m \le 0\) là tham số. Khi đó đạo hàm \(f'\left( t \right)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(m\) bằng bao nhiêu?

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được \(x\) mét vải lụa \(\left( {1 \le x \le 18} \right)\). Tổng chi phí sản xuất \(x\) mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:

\(C\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 20x + 500\).

Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá \(220\) nghìn đồng/mét. Gọi \(L\left( x \right)\) là lợi nhuận thu được khi bán \(x\) mét vải lụa. Hỏi lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm trong một ngày?