Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích $300\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, lề trái và lề phải là 2 cm, lề trên và lề dưới là 3 cm. Gọi $x\left( {{\rm{cm}}} \right)$ là chiều rộng của tờ giấy.

a) Tính diện tích của tờ giấy theo $x$.

b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là $S\left( x \right)$. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = S\left( x \right)$.

c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 1 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi $y\,(\;{\rm{cm}})$ là chiều dài của tờ giấy. Theo giả thiết, ta có $\left( {x - 4} \right)\left( {y - 6} \right) = 300$.

Suy ra $y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}}$.

a) Diện tích của tờ giấy được thiết kế là: $S\left( x \right) = xy = \frac{{x\left( {6x + 276} \right)}}{{x - 4}}.$

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số $S\left( x \right)$:

Tập xác định: $\left( {4; + \infty } \right)$.

Sự biến thiên: Ta có $S\left( x \right) = 6x + 300 + \frac{{1200}}{{x - 4}}$.

$S'\left( x \right) = \frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}},S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 4 + 10\sqrt 2 $.

- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {4 + 10\sqrt 2 ; + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {4;4 + 10\sqrt 2 } \right)$.

- Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 4 + 10\sqrt 2 $.

- Giới hạn vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} S\left( x \right) = + \infty $, giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( x \right) = + \infty $.

- Bảng biến thiên:

$Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích $300\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, lề trái và lề phải là 2 cm, lề trên và lề dưới là 3 cm. Gọi $x\left( {{\rm{cm}}} \right)$ là chiều rộng của tờ giấy. (ảnh 1)$

c) Kích thước của tờ giấy để nguyên liệu sử dụng ít nhất là:

Chiều rộng $x = 4 + 10\sqrt 2 \approx 18,14(\;{\rm{cm}})$, Chiều dài $y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}} = 6 + \frac{{30}}{{\sqrt 2 }} \approx 27,21(\;{\rm{cm}})$.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng $8 {\rm{m}}$ dây thép để làm các đường viền. Gọi $x, y$ là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật.

$Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng $8 {\rm{m}}$ dây thép để làm các đường viền. Gọi $x, y$ là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật. (ảnh 1)$

a) Chiều dài dây để uốn ra bán nguyệt là $\frac{{\pi x}}{2}$.

b) Giá trị của $y$ tính theo $x$ là $4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}$.

c) Diện tích của cửa sổ là $S = 4x - {x^2}$.

d) Khi diện tích của cửa sổ lớn nhất thì $y = \frac{{16}}{{8 + \pi }}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng. Bán kính của hình bán nguyệt là $\frac{x}{2}$ nên nửa chu vi bán nguyệt là $\frac{{\pi x}}{2}$.

b) Đúng. Ta có $2\left( {x + y} \right) + \frac{{\pi x}}{2} = 8 \Leftrightarrow y = 4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}$.

c) Sai. Diện tích của cửa sổ:$S = xy + \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = x\left( {4 - x - \frac{{\pi x}}{4}} \right) + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 4x - {x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{8}$.

d) Đúng. $S$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = \frac{4}{{2 + \frac{\pi }{4}}} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}$ nên $y = 4 - x - \frac{{\pi x}}{4} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}$.

Câu 2

Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất $x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$ nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 5 triệu đồng chi phí cố định; $0,15$ triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; $0,0005{x^2}$chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là $200\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$. Gọi $C\left( x \right)$ là chi phí sản xuất $x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$ sản phẩm mỗi ngày và $\overline c \left( x \right)$ là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.

a) $C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5$.

b) Chi phí sản xuất $100\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ nước tinh khiết là 20 triệu đồng.

c) $\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}$.

d) Chi phí trung bình giảm xuống khi sản lượng nước tính khiết trong ngày không vượt quá 100 ${{\rm{m}}^3}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng. Chi phí mỗi ngày là tổng các chi phí nên $C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5$ (triệu đồng).

b) Sai. Khi $x = 100$, ta có $C\left( {100} \right) = 0,0005 \times {100^2} + 0,15 \times 100 + 5 = 25$.

c) Sai. Chi phí trung bình trên mỗi khối sản phẩm là:

$\overline c \left( x \right) = \frac{{0,0005{x^2} + 0,15x + 5}}{x} = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}$.

d) Đúng. Xét hàm số $\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}$, $0 < x \le 200$.

Ta có ${\overline c ^{\,\prime }}\left( x \right) = \frac{5}{{{{10}^4}}} - \frac{5}{{{x^2}}}$, ${\overline c ^\prime }\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {10^4} \Rightarrow x = 100$ (do $x \in \left( {0;200} \right]$.

Bảng biến thiên:

$Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất \(x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm (ảnh 1)$

Vậy chi phí trung bình giảm khi hàm số $\overline c \left( x \right)$nghịch biến, tức là $x \in \left( {0;100} \right)$.

Câu 3