Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích \(300\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), lề trái và lề phải là 2 cm, lề trên và lề dưới là 3 cm. Gọi \(x\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là chiều rộng của tờ giấy.
a) Tính diện tích của tờ giấy theo \(x\).
b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là \(S\left( x \right)\). Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = S\left( x \right)\).
c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.
Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích \(300\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), lề trái và lề phải là 2 cm, lề trên và lề dưới là 3 cm. Gọi \(x\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là chiều rộng của tờ giấy.
a) Tính diện tích của tờ giấy theo \(x\).
b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là \(S\left( x \right)\). Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = S\left( x \right)\).
c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.
Quảng cáo
Trả lời:

Gọi \(y\,(\;{\rm{cm}})\) là chiều dài của tờ giấy. Theo giả thiết, ta có \(\left( {x - 4} \right)\left( {y - 6} \right) = 300\).
Suy ra \(y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}}\).
a) Diện tích của tờ giấy được thiết kế là: \(S\left( x \right) = xy = \frac{{x\left( {6x + 276} \right)}}{{x - 4}}.\)
b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(S\left( x \right)\):
Tập xác định: \(\left( {4; + \infty } \right)\).
Sự biến thiên: Ta có \(S\left( x \right) = 6x + 300 + \frac{{1200}}{{x - 4}}\).
\(S'\left( x \right) = \frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}},S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 4 + 10\sqrt 2 \).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4 + 10\sqrt 2 ; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {4;4 + 10\sqrt 2 } \right)\).
- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4 + 10\sqrt 2 \).
- Giới hạn vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} S\left( x \right) = + \infty \), giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( x \right) = + \infty \).
- Bảng biến thiên:
c) Kích thước của tờ giấy để nguyên liệu sử dụng ít nhất là:
Chiều rộng \(x = 4 + 10\sqrt 2 \approx 18,14(\;{\rm{cm}})\), Chiều dài \(y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}} = 6 + \frac{{30}}{{\sqrt 2 }} \approx 27,21(\;{\rm{cm}})\).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Đúng. Bán kính của hình bán nguyệt là \(\frac{x}{2}\) nên nửa chu vi bán nguyệt là \(\frac{{\pi x}}{2}\).
b) Đúng. Ta có \(2\left( {x + y} \right) + \frac{{\pi x}}{2} = 8 \Leftrightarrow y = 4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}\).
c) Sai. Diện tích của cửa sổ:\(S = xy + \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = x\left( {4 - x - \frac{{\pi x}}{4}} \right) + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 4x - {x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).
d) Đúng. \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{4}{{2 + \frac{\pi }{4}}} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\) nên \(y = 4 - x - \frac{{\pi x}}{4} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\).
Lời giải
a) Đúng. Chi phí mỗi ngày là tổng các chi phí nên \(C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5\) (triệu đồng).
b) Sai. Khi \(x = 100\), ta có \(C\left( {100} \right) = 0,0005 \times {100^2} + 0,15 \times 100 + 5 = 25\).
c) Sai. Chi phí trung bình trên mỗi khối sản phẩm là:
\(\overline c \left( x \right) = \frac{{0,0005{x^2} + 0,15x + 5}}{x} = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\).
d) Đúng. Xét hàm số \(\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\), \(0 < x \le 200\).
Ta có \({\overline c ^{\,\prime }}\left( x \right) = \frac{5}{{{{10}^4}}} - \frac{5}{{{x^2}}}\), \({\overline c ^\prime }\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {10^4} \Rightarrow x = 100\) (do \(x \in \left( {0;200} \right]\).
Bảng biến thiên:
Vậy chi phí trung bình giảm khi hàm số \(\overline c \left( x \right)\)nghịch biến, tức là \(x \in \left( {0;100} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.