Một bác nông dân có ba tấm lưới B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc theo bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ dưới đây biết rằng bờ sông là đường thẳng CD không phải rào lưới. Hỏi bác nông dân đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 1 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Một bác nông dân có ba tấm lưới B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc theo bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ dưới đây biết rằng bờ sông là đường thẳng CD không phải rào lưới. (ảnh 2)

Gọi $M,\,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,\,B$ lên $CD$.

Đặt $x = MD$, $\left( {0 < x < a} \right)$ suy ra $AM = \sqrt {A{D^2} - M{D^2}} = \sqrt {{a^2} - {x^2}} $.

Diện tích của mảnh vườn hình thang cân là $S\left( x \right) = \frac{{\left( {AB + CD} \right)AM}}{2} = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} $.

Xét hàm số $f\left( x \right) = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} $trên khoảng $\left( {0 < x < a} \right)$.

Đạo hàm $f'\left( x \right) = \frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - a \notin \left( {0 < x < a} \right)\\x = \frac{a}{2} \in \left( {0 < x < a} \right)\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0\,;\,a} \right)$.

Từ bảng biến thiên suy ra $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0;\,a} \right)} f\left( x \right) = f\left( {\frac{a}{2}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}$.

Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là $\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}$${{\rm{m}}^2}$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng $8 {\rm{m}}$ dây thép để làm các đường viền. Gọi $x, y$ là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật.

$Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng $8 {\rm{m}}$ dây thép để làm các đường viền. Gọi $x, y$ là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật. (ảnh 1)$

a) Chiều dài dây để uốn ra bán nguyệt là $\frac{{\pi x}}{2}$.

b) Giá trị của $y$ tính theo $x$ là $4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}$.

c) Diện tích của cửa sổ là $S = 4x - {x^2}$.

d) Khi diện tích của cửa sổ lớn nhất thì $y = \frac{{16}}{{8 + \pi }}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng. Bán kính của hình bán nguyệt là $\frac{x}{2}$ nên nửa chu vi bán nguyệt là $\frac{{\pi x}}{2}$.

b) Đúng. Ta có $2\left( {x + y} \right) + \frac{{\pi x}}{2} = 8 \Leftrightarrow y = 4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}$.

c) Sai. Diện tích của cửa sổ:$S = xy + \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = x\left( {4 - x - \frac{{\pi x}}{4}} \right) + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 4x - {x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{8}$.

d) Đúng. $S$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = \frac{4}{{2 + \frac{\pi }{4}}} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}$ nên $y = 4 - x - \frac{{\pi x}}{4} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}$.

Câu 2

Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất $x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$ nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 5 triệu đồng chi phí cố định; $0,15$ triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; $0,0005{x^2}$chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là $200\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$. Gọi $C\left( x \right)$ là chi phí sản xuất $x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$ sản phẩm mỗi ngày và $\overline c \left( x \right)$ là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.

a) $C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5$.

b) Chi phí sản xuất $100\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ nước tinh khiết là 20 triệu đồng.

c) $\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}$.

d) Chi phí trung bình giảm xuống khi sản lượng nước tính khiết trong ngày không vượt quá 100 ${{\rm{m}}^3}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng. Chi phí mỗi ngày là tổng các chi phí nên $C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5$ (triệu đồng).

b) Sai. Khi $x = 100$, ta có $C\left( {100} \right) = 0,0005 \times {100^2} + 0,15 \times 100 + 5 = 25$.

c) Sai. Chi phí trung bình trên mỗi khối sản phẩm là:

$\overline c \left( x \right) = \frac{{0,0005{x^2} + 0,15x + 5}}{x} = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}$.

d) Đúng. Xét hàm số $\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}$, $0 < x \le 200$.

Ta có ${\overline c ^{\,\prime }}\left( x \right) = \frac{5}{{{{10}^4}}} - \frac{5}{{{x^2}}}$, ${\overline c ^\prime }\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {10^4} \Rightarrow x = 100$ (do $x \in \left( {0;200} \right]$.

Bảng biến thiên:

$Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất \(x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm (ảnh 1)$

Vậy chi phí trung bình giảm khi hàm số $\overline c \left( x \right)$nghịch biến, tức là $x \in \left( {0;100} \right)$.

Câu 3