Gọi \(m,\,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x - \sqrt {x + 1} \) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\). Tổng \(S = 2M - m\) bằng bao nhiêu?

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \[t\] (giây) là \[y = {t^3} - 12t + 3,\,\,t \ge 0\].

a) Hàm gia tốc của vật là \[a = y'\].

b) Hàm vận tốc của vật là \[v\left( t \right) = 3{t^2} - 12\].

c) Tại thời điểm \[t = 1\] thì hạt đang chuyển động lên trên.

d) Trong khoảng thời gian \[0 \le t \le 3\] thì quãng đường mà hạt đi là \[23\]m.

Một cốc chứa \[25\]ml dung dịch NaOH với nồng độ \[100\] mg/ml. Một bình chứa dung dịch NaOH khác với nồng độ \[9\]mg/ml được trộn vào cốc. Gọi \[C\left( x \right)\] là nồng độ của NaOH sau khi trộn \[x\](ml) từ bình chứa, ta thấy nồng độ của NaOH trong cốc sẽ luôn giảm theo \[x\] nhưng luôn lớn hơn một số \[a\]. Tính \[a\].

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + x - 6{\rm{ln}}\left( {x + 2} \right)\).

a) Đạo hàm của hàm số là \(f'\left( x \right) = x + 1 - \frac{6}{{x + 2}}\).

b) Trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

c) \(f\left( { - 1} \right) = - \frac{1}{2}\) và \(f\left( 2 \right) = 4 - 12{\rm{ln}}2\).

d) Giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) lớn hơn –5.

Nhà máy\(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm được biểu diễn bởi công thức: \(P\left( x \right) = 45 - 0,001{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right) = 100 + 30x\) triệu đồng (gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).

a) Chi phí để \(A\) sản xuất \(10\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(400\)triệu đồng.               

b) Số tiền \(A\) thu được khi bán \(10\) tấn sản phẩm cho \(B\) là \(600\)triệu đồng.           

c) Lợi nhuận mà \(A\) thu được khi bán \(x\) tấn sản phẩm \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\) cho \(B\) được biểu diễn bởi công thức \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).

d) Bên \(A\) bán cho \(B\) khoảng \(70,7\) tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất.