Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, $\widehat {BAE} = \widehat {DCE}$. Chứng minh rằng:

AD song song với BC.

Hướng dẫn giải:

Vì ∆AED = ∆BEC nên AE = BE; ED = EC.

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.

Do đó, AC = BD.

Xét ∆ABD và ∆BAC ta có:  

AC = BD (chứng minh trên)

AB chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆BAC (c – c – c)

Suy ra $\widehat {ABD} = \widehat {BAC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác AEB có:

$\widehat {ABE} + \widehat {BAE} + \widehat {AEB} = 180^\circ$

Do đó, $2\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {AEB}$ (vì $\widehat {ABE} = \widehat {BAE}$ do $\widehat {ABD} = \widehat {BAC}$)

Suy ra $\widehat {ABE} = \frac{{180^\circ - \widehat {AEB}}}{2}$  (4)

Xét ∆ACD và ∆BDC ta có:  

AC = BD (chứng minh trên)

CD chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ACD = ∆BDC (c – c – c)

Suy ra $\widehat {ACD} = \widehat {BDC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác DEC có:

$\widehat {DCE} + \widehat {EDC} + \widehat {DEC} = 180^\circ$

Do đó, $2\widehat {EDC} = 180^\circ - \widehat {DEC}$ (vì $\widehat {EDC} = \widehat {DCE}$ do $\widehat {ACD} = \widehat {BDC}$)

Suy ra $\widehat {EDC} = \frac{{180^\circ - \widehat {DEC}}}{2}$ (5)

Lại có, $\widehat {AEB},\,\,\widehat {DEC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {AEB} = \widehat {DEC}$ (6)

Từ (4); (5); (6) suy ra $\widehat {ABE}$ = $\widehat {EDC}$ hay $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$.

Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.