Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

a) M(-1;1) đối xứng qua trục Oy ta được N(-1;1).

Gọi M'(x;y) là ảnh của N(-1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v }= (2;0)$

b) Gọi P(x;y) là ảnh của M(1;1) qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v }= (2;0)$

P(3;1) đối xứng qua trục Oy ta được M"(-3;1)

Gọi $d_1$ là ảnh của d qua phép quay tâm 0 góc ${90}^o$. Vì d chứa tâm quay O nên $d_1$cũng chứa O. Ngoài ra $d_1$ vuông góc với d nên $d_1$có phương trinh: 9x + 2y = 0.

Gọi d' là ảnh của $d_1$qua phép tịnh tiến vectơ v. Khi đó phương trình của d' có dạng x + 2y + C = 0. Vì d' chứa O′(3;1) là ảnh của O qua phép tịnh tiến vectơ v nên 3 + 2 + C = 0 từ đó C = -5. Vậy phương trình của d' là x + 2y – 5 = 0.

Gọi $Q_{\left(I,\alpha \right)}$ là phép quay tâm I góc α . Lấy đường thẳng d bất kì qua I. Gọi d' là ảnh của d qua phép quay tâm I góc α/2. Lấy điểm M bất kì và gọi M′ = $Q_{\left(I,\alpha \right)}$(M). Gọi M" là ảnh của M qua phép đối xứng qua trục d. M1 là ảnh của M" qua phép đối xứng qua trục d'. Gọi J là giao của MM" với d, H là giao của M″M1 với d'. Khi đó ta có đẳng thức giữa các góc lượng giác sau:

(IM, IM1) = (IM, IM′′) + (IM′′, IM1)

= 2(IJ, IM′′) + 2(IM′′, IH)

= 2(IJ, IH)

= 2α/2 = a = (IM, IM′)

Từ đó suy ra M′ ≡ M1. Như vậy M' có thể xem là ảnh của sau khi thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai trục d và d'.

Gọi F là phép đối xứng qua đường trung trực d của cạnh AB, G là phép đối xứng qua đường trung trực d' của cạnh IE. Khi đó F biến AI thành BI, G biến BI thành BE. Từ đó suy ra phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình F và G sẽ biến AI thành BE.

Hơn nữa gọi J là giao của d và d', thì dễ thấy JA = JB, JI = JE và 2(JI, JB) = (JI, JE) = ${45}^o$

(vì JE / /IB). Do đó theo kết quả của bài 1.21, phép dời hình nói trên chính là phép quay tâm J góc ${45}^o$

Lưu ý. Có thể tìm được nhiều phép dời hình biến AI thành BE.

b) F biến các điểm A, B, C, D thành B, A, D, C; G biến các điểm B, A, D, C thành B, A', D', C'. Do đó ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình nói trên là hình vuông BA'D'C' đối xứng với hình vuông BADC qua d'