Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD nên MN, NP, MP lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC, ACD, ABD

⇒ MN//BC, NP//CD, PM //BD

Mà BC, CD, BD thuộc (BCD)

MN, NP, PM không thuộc (BCD)

⇒ Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD)

a) Do các tứ giác ABCD và ABEF là các hình bình hành

=> O là trung điểm của AC và BD

và O’ là trung điểm của AE và BF. (tính chất hình bình hành).

+ ΔBFD có OO’ là đường trung bình nên OO’ // DF

mà DF ⊂ (ADF)

⇒ OO' // (ADF)

+ ΔAEC có OO’ là đường trung bình nên OO’ // EC

mà EC ⊂ (BCE)

⇒ OO’ // (BCE).

b)

Ta thấy mp(CEF) chính là mp(CEFD).

Gọi I là trung điểm của AB:

+ M là trọng tâm ΔABD

⇒ IM/ ID = 1/3.

+ N là trọng tâm ΔABE

⇒ IN/IE = 1/3.

+ ΔIDE có IM/ID = IN/IE = 1/3

⇒ MN // DE mà ED ⊂ (CEFD)

nên MN // (CEFD) hay MN // (CEF).

a) + (α) // AC

⇒ Giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng song song với AC.

Mà M ∈ (ABC) ∩ (α).

⇒ (ABC) ∩ (α) = MN là đường thẳng qua M, song song với AC (N ∈ BC).

+ Tương tự (α) ∩ (ABD) = MQ là đường thẳng qua M song song với BD (Q ∈ AD).

+ (α) ∩ (BCD) = NP là đường thẳng qua N song song với BD (P ∈ CD).

+ (α) ∩ (ACD) = QP.

b)Ta có:

Suy ra, tứ giác MNPQ có các cạnh đối song song với nhau nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

+ Ta có: (α) // AB

⇒ giao tuyến (α) và (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với AB.

Qua O kẻ MN // AB (M ∈ BC, N ∈ AD)

⇒ (α) ∩ (ABCD) = MN.

+ (α) // SC

⇒ giao tuyến của (α) và (SBC) là đường thẳng qua M và song song với SC.

Kẻ MQ // SC (Q ∈ SB).

+ (α) // AB

⇒ giao tuyến của (α) và (SAB) là đường thẳng qua Q và song song với AB.

Từ Q kẻ QP // AB (P ∈ SA).

⇒ (α) ∩ (SAD) = PN.

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) là tứ giác MNPQ.

Ta có: PQ// AB và NM // AB

=> PQ // NM

Do đó, tứ giác MNPQ là hình thang.