Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)

16295 lượt thi
126 câu hỏi
60 phút

Câu 1:

Cho tam giác ABC, M, N, P được xác định bởi véctơ $\vec{M A} = - \frac{3}{4} \vec{B M}, \vec{A N} = - 3 \vec{C N}, \vec{C P} = \frac{1}{4} \vec{P B}$ .

Chứng minh M, N, P thẳng hàng?

Ta có: $\vec{M A} = - \frac{3}{4} \vec{B M} = \frac{3}{4} \vec{M B}; \vec{A N} = - 3 \vec{C N} = 3 \vec{N C}; \vec{C P} = \frac{1}{4} \vec{P B}$

Ta lại có: $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A N} = \frac{3}{4} \vec{M B} + 3 \vec{N C} = \frac{3}{4} \vec{M P} + \frac{3}{4} \vec{P B} + 3 \vec{N P} + 3 \vec{P C}$

_{$\Leftrightarrow \vec{M N} = \frac{3}{4} \vec{M P} + 3 \vec{C P} + 3 \vec{N P} - 3 \vec{C P} = \frac{3}{4} \vec{M P} + 3 \vec{N P}$}

_{$\Leftrightarrow \vec{M P} + \vec{P N} = \frac{3}{4} \vec{M P} + 3 \vec{N P}$}

_{$\Leftrightarrow \frac{1}{4} \vec{M P} = 4 \vec{N P} \Leftrightarrow \vec{M P} = 16 \vec{N P}$}

Do đó M, N, P thằng hàng.

Câu 2:

Cho a,b ≠ -2 thỏa mãn (2a + 1) (2b + 1) = 9

Tính giá trị biểu thức $M = \frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b}$ .

Xem đáp án

Ta có :

$2 b + 1 = \frac{9}{2 a + 1} \Rightarrow b = \frac{4 - a}{2 a + 1} \Rightarrow b + 2 = \frac{4 - a}{2 a + 1} + 2 = \frac{3 a + 6}{2 a + 1}$

$M = \frac{1}{a + 2} + \frac{2 a + 1}{3 a + 6} = \frac{1}{a + 2} + \frac{2 a + 1}{3 (a + 2)} = \frac{3 + 2 a + 1}{3 (a + 2)} = \frac{2 (a + 2)}{3 (a + 2)} = \frac{2}{3}$

Câu 3:

Chứng minh các bất đẳng thức: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$ với a > 0, b > 0

Xem đáp án

Xét hiệu

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{a + b} = \frac{b (a + b) + a (a + b) - 4 a b}{a b (a + b)} = \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{a b (a + b)} = \frac{{(a - b)}^{2}}{a b (a + b)} \geq 0$ , vì a, b > 0

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b.

Câu 4:

Cho a lớn hơn 0 và b lớn hơn 0. Chứng minh rằng _{$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a + b) \geq 4$}

Xem đáp án

_{$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a + b) \geq 4$}

_{$\Leftrightarrow 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 1 \geq 4$}

_{$\Leftrightarrow \frac{b^{2} + a^{2}}{a b} \geq 2$}

Vì a > 0 và b > 0 ⇒ ab > 0

Vậy $\frac{b^{2} + a^{2}}{a b} \geq 2 \Leftrightarrow b^{2} + a^{2} \geq 2 a b$

$\Leftrightarrow {(a - b)}^{2} \geq 0$ .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Câu 5:

Trên bàn cờ 5 x 4 ô vuông như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân theo các cạnh của hình vuông, mỗi bước đi được 1 cạnh. Có bao nhiêu cách di chuyển quân từ điểm A tới điểm B bằng 9 bước ?

Xem đáp án

Để đi từ A đến B qua 9 bước thì chỉ có 1 cách đi duy nhất là các bước đi đều phải đi từ dưới lên hoặc đi từ trái qua phải.

Gọi M(i; j) là điểm bất kì nằm ở hàng i cột j với $i = \bar{1; 5}$ và _{$j = \bar{1; 6}$}.

Để đến được điểm M thì chỉ có 3 cách đi đó là từ điểm có tọa độ (i − 1; j) hoặc (i; j − 1) như hình vẽ dưới:

Trên bàn cờ 5 x 4 ô vuông như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân theo (ảnh 2)

Gọi số cách đi đến M là f(i; j) thì theo quy tắc cộng ta có

$f (i; j) = f (i - 1; j) + f (i; j - 1)$

Từ đó ta được kết quả sau:

Trên bàn cờ 5 x 4 ô vuông như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân theo (ảnh 3)

Vậy có 126 cách đi thỏa mãn

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án