Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d,e ta có a) a2+b2+c2≥ab+bc+ca

a. Ta có a2+b2+c2≥ab+bc+ca⇔2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca⇔a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+c2≥0⇔a−b2+b−c2+c−a2≥0 Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi a,b,c nên a2+b2+c2≥ab+bc+ca luôn đúng Đẳng thức sảy ra khi a - b = b - c = c - a = 0 hay a = b = c

Câu hỏi:

19/08/2025 401

Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d,e ta có

$a) a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 4: Bất phương trình đưa về dạng bậc nhất có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a. Ta có

$\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a \\ \Leftrightarrow 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} > 2 a b + 2 b c + 2 c a \\ \Leftrightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b c + c^{2} + c^{2} - 2 c a + c^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \geq 0 \end{array}$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi a,b,c nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$ luôn đúng

Đẳng thức sảy ra khi a - b = b - c = c - a = 0 hay a = b = c

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho a.b.c = 1, $a^{3} > 36$ , CMR : $\frac{a^{2}}{3} + b^{2} + c^{2} > a b + b c + c a$

Xem đáp án

Lời giải

Xét hiệu $\frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{12} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c > 0$

$\Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{4} + b^{2} + c^{2} - a b - a c + 2 b c) + \frac{a^{2}}{12} - 3 b c > 0 \Leftrightarrow {(\frac{a}{2} - b - c)}^{2} + \frac{a^{3} - 36 a b c}{12 a}$

Do $a^{3} > 36 = > \frac{a^{3} - 36 a b c}{12 a} > 0$ =>ĐPCM

Câu 2

Cho a, b là các số dương thỏa mãn: $a^{3} + b^{3} = a^{5} + b^{5}$ , Chứng minh rằng: $a^{2} + b^{2} \leq 1 + a b$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$a^{2} + b^{2} \leq 1 + a b \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - a b \leq 1 \Leftrightarrow (a + b) (a^{2} + b^{2} - a b) \leq a + b$

$\Leftrightarrow a^{3} + b^{3} \leq a + b \Leftrightarrow (a^{3} + b^{3}) (a^{3} + b^{3}) \leq (a + b) (a^{5} + b^{5}) \Leftrightarrow 2 a^{3} b^{3} \leq a b^{5} + a^{5} b \Leftrightarrow a b (a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4}) \geq 0 \Leftrightarrow a b {(a^{2} - b^{2})}^{2} \geq 0, \forall a, b > 0$

Câu 3