Câu hỏi:

11/07/2024 621

Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1,O2,...,On không nằm giữa A và B sao cho O1A+O2A+...+OnA=O1B+O2B+...+OnB=a. Chứng minh rằng tồn tại một điểm M sao cho O1M+O2M+...+OnMa.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Gọi M là trung điểm của AB và O là một điểm tùy ý không nằm giữa A và B.

- Trường hợp O nằm trên tia đối của tia AB hay tia đối của tia BA (h.3.16), ta chứng minh được OM=OA+OB2.  1

Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1, O2, ....,On không nằm giữa A và B sao cho O1A + O2A +... + OnA = O1B + O2B +... +OnB = a. C (ảnh 1)

- Trường hợp O không thẳng hàng với A và B (h.3.17).

Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1, O2, ....,On không nằm giữa A và B sao cho O1A + O2A +... + OnA = O1B + O2B +... +OnB = a. C (ảnh 2)

Gọi N là trung điểm của OB, khi đó MN là đường trung bình của ΔOAB,MN=OA2.

Xét ΔOMN, ta có: OM<MN+ON

OM<OA+OB2.  2

Từ (1) và (2) suy ra: OMOA+OB2.  *

Áp dụng hệ thức (*) đối với n điểm O1,O2,,On ta có:

O1MO1A+O1B2;O2MO2A+O2B2;;OnMOnA+OnB2.

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:

O1M+O2M+OnMO1A+O1B2+O2A+O2B2++OnA+OnB2=O1A+O2A++OnA2+O1B+O2B++OnB2=a2+a2=a

Như vậy điểm cần tìm chính là trung điểm M của AB.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Đường thẳng MN cắt tia AB và AC lần lượt là tại P và Q. Hỏi hai điểm D và E phải có điều kiện gì để tam giác APQ cân tại A?

Xem đáp án » 12/07/2024 3,771

Câu 2:

Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến BC bằng nửa độ dài AH.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,329

Câu 3:

Cho tam giác ABC. Gọi Bx và Cy lần lượt là các đường chứa tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên Bx và Cy.

a) Chứng minh rằng tứ giác BCKH là hình thang;

Xem đáp án » 12/07/2024 2,915

Câu 4:

Cho tam giác ABCcân tại A, đường cao AH và đường phân giác BD. Biết rằng AH=12BD, tính số đo các góc của tam giác ABC

Xem đáp án » 12/07/2024 2,880

Câu 5:

Cho tứ giác ABCD đường chéo BD là đường trung trực của AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AB. Vẽ MEBC NFCDEBC,FCD. Chứng minh rằng ba đường thẳng ME, NF và AC đồng quy

Xem đáp án » 12/07/2024 2,509

Câu 6:

Cho tam giác ABC cân tại A,M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:

a) EF là đường trung bình của tam giác ABC

Xem đáp án » 13/10/2022 704

Câu 7:

Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh:

a) EM song song vói DC

Xem đáp án » 13/10/2022 627
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua