Câu hỏi:

11/07/2024 570

Cho đoạn thẳng AB và n điểm $O_{1}, O_{2}, ..., O_{n}$ không nằm giữa A và B sao cho $O_{1} A + O_{2} A + ... + O_{n} A = O_{1} B + O_{2} B + ... + O_{n} B = a$ . Chứng minh rằng tồn tại một điểm M sao cho $O_{1} M + O_{2} M + ... + O_{n} M \leq a .$

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 5: Đường trung bình của tam giác, của hình thang có đáp án !!

Sách mới 2k7: Sổ tay Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 30k).

Sổ tay Toán-lý-hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi M là trung điểm của AB và O là một điểm tùy ý không nằm giữa A và B.

- Trường hợp O nằm trên tia đối của tia AB hay tia đối của tia BA (h.3.16), ta chứng minh được $O M = \frac{O A + O B}{2} . (1)$

Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1, O2, ....,On không nằm giữa A và B sao cho O1A + O2A +... + OnA = O1B + O2B +... +OnB = a. C (ảnh 1)

- Trường hợp O không thẳng hàng với A và B (h.3.17).

Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1, O2, ....,On không nằm giữa A và B sao cho O1A + O2A +... + OnA = O1B + O2B +... +OnB = a. C (ảnh 2)

Gọi N là trung điểm của OB, khi đó MN là đường trung bình của $Δ O A B, M N = \frac{O A}{2}$ .

Xét $Δ O M N$ , ta có: $O M < M N + O N$

$\Rightarrow O M < \frac{O A + O B}{2} . (2)$

Từ (1) và (2) suy ra: $O M \leq \frac{O A + O B}{2} . (*)$

Áp dụng hệ thức (*) đối với n điểm $O_{1}, O_{2}, \dots, O_{n}$ ta có:

$O_{1} M \leq \frac{O_{1} A + O_{1} B}{2}; O_{2} M \leq \frac{O_{2} A + O_{2} B}{2}; \dots; O_{n} M \leq \frac{O_{n} A + O_{n} B}{2} .$

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:

$O_{1} M + O_{2} M + \dots O_{n} M \leq \frac{O_{1} A + O_{1} B}{2} + \frac{O_{2} A + O_{2} B}{2} + \dots + \frac{O_{n} A + O_{n} B}{2} = \frac{O_{1} A + O_{2} A + \dots + O_{n} A}{2} + \frac{O_{1} B + O_{2} B + \dots + O_{n} B}{2} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$

Như vậy điểm cần tìm chính là trung điểm M của AB.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Đường thẳng MN cắt tia AB và AC lần lượt là tại P và Q. Hỏi hai điểm D và E phải có điều kiện gì để tam giác APQ cân tại A?

Xem đáp án » 12/07/2024 3,315

Câu 2:

Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến BC bằng nửa độ dài AH.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,909

Câu 3:

Cho tam giác ABC. Gọi Bx và Cy lần lượt là các đường chứa tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên Bx và Cy.

a) Chứng minh rằng tứ giác BCKH là hình thang;

Xem đáp án » 12/07/2024 2,776

Câu 4:

Cho tam giác ABCcân tại A, đường cao AH và đường phân giác BD. Biết rằng $A H = \frac{1}{2} B D$ , tính số đo các góc của tam giác ABC

Xem đáp án » 12/07/2024 2,396

Câu 5:

Cho tứ giác ABCD đường chéo BD là đường trung trực của AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AB. Vẽ $M E ⊥ B C$ và $N F ⊥ C D (E \in B C, F \in C D)$ . Chứng minh rằng ba đường thẳng ME, NF và AC đồng quy

Xem đáp án » 12/07/2024 2,288

Câu 6:

Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh:
a) EM song song vói DC

Xem đáp án » 13/10/2022 579

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP