Câu hỏi:

11/07/2024 535

Cho đoạn thẳng AB và n điểm $O_{1}, O_{2}, ..., O_{n}$ không nằm giữa A và B sao cho $O_{1} A + O_{2} A + ... + O_{n} A = O_{1} B + O_{2} B + ... + O_{n} B = a$ . Chứng minh rằng tồn tại một điểm M sao cho $O_{1} M + O_{2} M + ... + O_{n} M \leq a .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 5: Đường trung bình của tam giác, của hình thang có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi M là trung điểm của AB và O là một điểm tùy ý không nằm giữa A và B.

- Trường hợp O nằm trên tia đối của tia AB hay tia đối của tia BA (h.3.16), ta chứng minh được $O M = \frac{O A + O B}{2} . (1)$

Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1, O2, ....,On không nằm giữa A và B sao cho O1A + O2A +... + OnA = O1B + O2B +... +OnB = a. C (ảnh 1)

- Trường hợp O không thẳng hàng với A và B (h.3.17).

Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1, O2, ....,On không nằm giữa A và B sao cho O1A + O2A +... + OnA = O1B + O2B +... +OnB = a. C (ảnh 2)

Gọi N là trung điểm của OB, khi đó MN là đường trung bình của $Δ O A B, M N = \frac{O A}{2}$ .

Xét $Δ O M N$ , ta có: $O M < M N + O N$

$\Rightarrow O M < \frac{O A + O B}{2} . (2)$

Từ (1) và (2) suy ra: $O M \leq \frac{O A + O B}{2} . (*)$

Áp dụng hệ thức (*) đối với n điểm $O_{1}, O_{2}, \dots, O_{n}$ ta có:

$O_{1} M \leq \frac{O_{1} A + O_{1} B}{2}; O_{2} M \leq \frac{O_{2} A + O_{2} B}{2}; \dots; O_{n} M \leq \frac{O_{n} A + O_{n} B}{2} .$

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:

$O_{1} M + O_{2} M + \dots O_{n} M \leq \frac{O_{1} A + O_{1} B}{2} + \frac{O_{2} A + O_{2} B}{2} + \dots + \frac{O_{n} A + O_{n} B}{2} = \frac{O_{1} A + O_{2} A + \dots + O_{n} A}{2} + \frac{O_{1} B + O_{2} B + \dots + O_{n} B}{2} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$

Như vậy điểm cần tìm chính là trung điểm M của AB.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Đường thẳng MN cắt tia AB và AC lần lượt là tại P và Q. Hỏi hai điểm D và E phải có điều kiện gì để tam giác APQ cân tại A?

Xem đáp án » 12/07/2024 3,024

Câu 2:

Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến BC bằng nửa độ dài AH.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,683

Câu 3:

Cho tam giác ABC. Gọi Bx và Cy lần lượt là các đường chứa tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên Bx và Cy.

a) Chứng minh rằng tứ giác BCKH là hình thang;

Xem đáp án » 12/07/2024 2,613

Câu 4:

Cho tam giác ABCcân tại A, đường cao AH và đường phân giác BD. Biết rằng $A H = \frac{1}{2} B D$ , tính số đo các góc của tam giác ABC

Xem đáp án » 12/07/2024 2,215

Câu 5:

Cho tứ giác ABCD đường chéo BD là đường trung trực của AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AB. Vẽ $M E ⊥ B C$ và $N F ⊥ C D (E \in B C, F \in C D)$ . Chứng minh rằng ba đường thẳng ME, NF và AC đồng quy

Xem đáp án » 12/07/2024 2,102

Câu 6:

Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh:
a) EM song song vói DC

Xem đáp án » 13/10/2022 560

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP