Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn, các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau ở H. Chứng minh: tam giác AEF đồng dạng với ABC, tam giác BDF đồng dạng với EDC

$\left.\begin{array}{l}\Delta AHB\Delta AFD\to \widehat{ABH}=\widehat{FDA}\\ \Delta AHB\Delta EHD\to \widehat{ABH}=\widehat{EDH}\end{array}\right\}\Rightarrow \widehat{FDA}=\widehat{EDH}\Rightarrow DH$ là tia phân giác  $\widehat{FDE}$(3)

Lại có: $\widehat{FEB}=\widehat{FAD}$  (cùng phụ với $\widehat{AEF}=\widehat{FDB}$)

Mà:  $\widehat{HAB}=\widehat{HED}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \widehat{FEB}=\widehat{HED}$ $\Rightarrow EH$ là tia phân giác $\widehat{FED}$  (4)

Từ (3) và (4) suy ra: H là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác FED hay H cách đều 3 cạnh của tam giác FED

Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC.

Xét ∆ABC và ∆ADB có $\widehat{A}$  chung,$\widehat{ACB}=\widehat{AB\text{D}}\left(=\frac{\widehat{ABC}}{2}\right)$  suy ra ∆ABC$\backsim$ ∆ADB (g.g)

 $\Rightarrow \frac{AB}{A\text{D}}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow A\text{D}=\frac{A{B}^2}{AC}=\frac{4^2}{8}=2\text{ (cm)}$

Þ CD = 6 (cm).

∆ABC có BD là đường phân giác nên $\frac{BC}{AB}=\frac{C\text{D}}{A\text{D}}\Rightarrow BC=\frac{AB.C\text{D}}{A\text{D}}=\frac{4.6}{2}=12\text{ (cm)}$ .