Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D đối xứng với A qua điểm B. Vẽ điểm E đối xứng với B qua C. Vẽ điểm F đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEF có cùng một trọng tâm.

Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó $MF=DF;EN=ED$.

Chu vi $\Delta DEF=DF+FE+ED=MF+FE+EN$

Chu vi $\Delta DEF$ nhỏ nhất khi độ dài đường gấp khúc MFEN ngắn nhất. Muốn vậy bốn điểm M, F, E, N phải thẳng hàng theo thứ tự đó.

Do đó ta phải tìm điểm D trên BC sao cho MN nhỏ nhất.

Theo kết quả bài 7.2, để MN nhỏ nhất thì D là hình chiếu của A trên BC. Khi đó E và F lần lượt là giao điểm của MN với AC và AB (h.7.12).

Ta chứng minh với cách xác định D, E, F như vậy thì chu vi $\Delta DEF$nhỏ nhất.

Thật vậy, khi $AD\perp BC$thì chu vi $\Delta DEF$ bằng MN và MN nhỏ nhất.      (1)

Khi D, E, F ở những vị trí khác thì chu vi $\Delta DEF$ bằng độ dài đường gấp khúc MFEN do đó lớn hơn MN.  (2)

Chú ý: Ta có nhận xét điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B, điểm F là chân đường cao vẽ từ đỉnh C của $\Delta ABC$.

Thật vậy, xét $\Delta DEF$ có các đường BF và CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt nhau tại A nên tia DA là tia phân giác của góc EDF.

Ta có: $DC\perp DA$ nên DC là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của $\Delta DEF$.

Mặt khác, EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh E.

Điểm C là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên FC là đường phân giác trong. Kết hợp với FB là đường phân giác, suy ra $FC\perp FB$ hay $CF\perp AB$.

Chứng minh tương tự, ta được $BE\perp AC$.

Như vậy ba điểm D, E, F có thể xác định bởi chân của ba đường cao của tam giác.

a)

- AN đối xứng với AM qua AB

=> AN = AM và $\widehat{NAB}=\widehat{MAB}$.       (1)

- AP đối xứng với AM qua AC

=> AP = AM và $\widehat{MAC}=\widehat{PAC}$.      (2)

·- AA' đối xứng với AM qua AD nên $\widehat{MAD}=\widehat{A^{\text{'}}AD}$.

Mặt khác, $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ nên $\widehat{MAB}=\widehat{CA{A}^{\text{'}}}$ (3)

Từ (1) và (3) suy ra $\widehat{NAB}=\widehat{MAB}=\widehat{CA{A}^{\text{'}}}$.

Ta có $\widehat{A^{\text{'}}AP}=\widehat{A^{\text{'}}AC}+\widehat{PAC}=\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}$.

Chứng minh tương tự, ta được: $\widehat{A^{\text{'}}AN}=\widehat{BAC}$, suy ra: $\widehat{A^{\text{'}}AP}=\widehat{A^{\text{'}}AN}$.

$\Delta ANP$ cân tại A có AA' là đường phân giác nên AA' cũng là đường trung trực của NP N và P đối xứng qua AA'.