Dạng 4. Bài tập nâng cao - phát triển tư duy có đáp án

a) Vì C đối xứng với A qua BD nên $\Delta ABD$đối xứng với $\Delta CBD$ qua BD.

Do đó $\Delta ABD=\Delta CBD$, suy ra: $\widehat{B_1}=\widehat{B_2};\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$; $BA=BC$ và $DA=DC$.

Ta có BD và BE là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh B nên $BD\perp BE$.

Chứng minh tương tự, ta được: $BD\perp DH$.

Suy ra EF // HG => Tứ giác EFGH là hình thang.

Ta có $\widehat{D_3}=\widehat{D_4}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau).

$\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (một nửa của hai góc bằng nhau).

Suy ra $\widehat{H}=\widehat{G}$

Hình thang EFGH có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

Chứng minh tương tự, ta được: BE = BF.

a) Các đoạn thẳng AM và AN đối xứng với AD lần lượt qua AB và AC nên:

$AM=AD;AN=AD;\widehat{A_1}=\widehat{A_2};\widehat{A_3}=\widehat{A_4}$.

Ta có:

$\widehat{MAN}=\widehat{MAD}+\widehat{NAD}=2\left(\widehat{A_2}+\widehat{A_3}\right)=2\widehat{BAC}$ (không đổi).

b) Xét $\Delta AMN$có AM =AN (cùng bằng AD) nên là tam giác cân. Tam giác cân này có góc MAN không đổi nên cạnh đáy MN ngắn nhất

<=> cạnh bên AM ngắn nhất <=> AD ngắn nhất (vì AM = AD)

$\iff AD\perp BC\iff$ D là hình chiếu của A trên BC.

Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó $MF=DF;EN=ED$.

Chu vi $\Delta DEF=DF+FE+ED=MF+FE+EN$

Chu vi $\Delta DEF$ nhỏ nhất khi độ dài đường gấp khúc MFEN ngắn nhất. Muốn vậy bốn điểm M, F, E, N phải thẳng hàng theo thứ tự đó.

Do đó ta phải tìm điểm D trên BC sao cho MN nhỏ nhất.

Theo kết quả bài 7.2, để MN nhỏ nhất thì D là hình chiếu của A trên BC. Khi đó E và F lần lượt là giao điểm của MN với AC và AB (h.7.12).

Ta chứng minh với cách xác định D, E, F như vậy thì chu vi $\Delta DEF$nhỏ nhất.

Thật vậy, khi $AD\perp BC$thì chu vi $\Delta DEF$ bằng MN và MN nhỏ nhất.      (1)

Khi D, E, F ở những vị trí khác thì chu vi $\Delta DEF$ bằng độ dài đường gấp khúc MFEN do đó lớn hơn MN.  (2)

Chú ý: Ta có nhận xét điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B, điểm F là chân đường cao vẽ từ đỉnh C của $\Delta ABC$.

Thật vậy, xét $\Delta DEF$ có các đường BF và CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt nhau tại A nên tia DA là tia phân giác của góc EDF.

Ta có: $DC\perp DA$ nên DC là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của $\Delta DEF$.

Mặt khác, EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh E.

Điểm C là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên FC là đường phân giác trong. Kết hợp với FB là đường phân giác, suy ra $FC\perp FB$ hay $CF\perp AB$.

Chứng minh tương tự, ta được $BE\perp AC$.

Như vậy ba điểm D, E, F có thể xác định bởi chân của ba đường cao của tam giác.