Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D là điểm nằm giữa B và C. Vẽ các điểm M và N đối xứng với D lần lượt qua AB và AC.

a) Chứng minh rằng góc MAN luôn có số đo không đổi;

Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC và đường trung tuyến DN của tam giác DEF. Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến này. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của GA và GD.

Xét $\Delta FCE$ có AN là đường trung bình => AN // CE và $AN=\frac{1}{2}CE$ do đó AN // BM và AN = BM dẫn tới ANMB là hình bình hành =>MN // AB và $MN=\frac{1}{2}AD$.

Mặt khác, HK là đường trung bình của $\Delta GAD$ nên HK // AD và $HK=\frac{1}{2}AD$.

Từ đó MN // HK và MN = HK.

Suy ra MNHK là hình bình hành, hai đường chéo HM và NK cắt nhau tại G nên G là trung điểm của mỗi đường.

Do đó GM = GH = HA => G là trọng tâm của $\Delta ABC$.

GN = GK = KD => G là trọng tâm của $\Delta DEF$.

Vậy $\Delta ABC$và $\Delta DEF$có cùng một trọng tâm.

Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó $MF=DF;EN=ED$.

Chu vi $\Delta DEF=DF+FE+ED=MF+FE+EN$

Chu vi $\Delta DEF$ nhỏ nhất khi độ dài đường gấp khúc MFEN ngắn nhất. Muốn vậy bốn điểm M, F, E, N phải thẳng hàng theo thứ tự đó.

Do đó ta phải tìm điểm D trên BC sao cho MN nhỏ nhất.

Theo kết quả bài 7.2, để MN nhỏ nhất thì D là hình chiếu của A trên BC. Khi đó E và F lần lượt là giao điểm của MN với AC và AB (h.7.12).

Ta chứng minh với cách xác định D, E, F như vậy thì chu vi $\Delta DEF$nhỏ nhất.

Thật vậy, khi $AD\perp BC$thì chu vi $\Delta DEF$ bằng MN và MN nhỏ nhất.      (1)

Khi D, E, F ở những vị trí khác thì chu vi $\Delta DEF$ bằng độ dài đường gấp khúc MFEN do đó lớn hơn MN.  (2)

Chú ý: Ta có nhận xét điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B, điểm F là chân đường cao vẽ từ đỉnh C của $\Delta ABC$.

Thật vậy, xét $\Delta DEF$ có các đường BF và CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt nhau tại A nên tia DA là tia phân giác của góc EDF.

Ta có: $DC\perp DA$ nên DC là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của $\Delta DEF$.

Mặt khác, EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh E.

Điểm C là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên FC là đường phân giác trong. Kết hợp với FB là đường phân giác, suy ra $FC\perp FB$ hay $CF\perp AB$.

Chứng minh tương tự, ta được $BE\perp AC$.

Như vậy ba điểm D, E, F có thể xác định bởi chân của ba đường cao của tam giác.