Câu hỏi:

14/10/2022 354

Cho hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ xy. Hãy tìm trên xy hai điểm C và D sao cho CD = a cho trước và chu vi tứ giác ABCD là nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 7: Đối xứng trục có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ xy. Hãy tìm trên xy hai điểm C và D sao cho CD = a cho trước và chu vi tứ giác ABCD là nhỏ nhất. (ảnh 1)

Giả sử đã dựng được hai điểm C và D $\in x y$ sao cho CD = a và chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất.

Vẽ hình bình hành BMDC (điểm M ở phía gần A).

Khi đó BM = CD = a và DM = BC

Vẽ điểm N đối xứng với điểm M qua xy, điểm N là một điểm cố định và DN = DM.

Ta có AB + BC + CD+ DA nhỏ nhất

<=> BC + DA nhỏ nhất (vì AB và CD không đổi)

<=> DM + DA nhỏ nhất <=> DN + DA nhỏ nhất <=> D nằm giữa A và N.

Từ đó ta xác định điểm D như sau:

- Qua B vẽ một đường thẳng song song với xy và trên đó lấy điểm M sao cho BM = a(điểm M ở phía gần A);

- Vẽ điểm N đối xứng với M qua xy;

- Lấy giao điểm D của AN với xy;

- Lấy điểm $C \in x y$ sao cho DC = MB = a (DC và MB cùng chiều).

Khi đó tổng AB + BC + CD + DA nhỏ nhất.

Phần chứng minh dành cho bạn đọc.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D đối xứng với A qua điểm B. Vẽ điểm E đối xứng với B qua C. Vẽ điểm F đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEF có cùng một trọng tâm.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D đối xứng với A qua điểm B. Vẽ điểm E đối xứng với B qua C. Vẽ điểm F đối xứng với C qua A. (ảnh 1)

Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC và đường trung tuyến DN của tam giác DEF. Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến này. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của GA và GD.

Xét $Δ F C E$ có AN là đường trung bình => AN // CE và $A N = \frac{1}{2} C E$ do đó AN // BM và AN = BM dẫn tới ANMB là hình bình hành =>MN // AB và $M N = \frac{1}{2} A D$ .

Mặt khác, HK là đường trung bình của $Δ G A D$ nên HK // AD và $H K = \frac{1}{2} A D$ .

Từ đó MN // HK và MN = HK.

Suy ra MNHK là hình bình hành, hai đường chéo HM và NK cắt nhau tại G nên G là trung điểm của mỗi đường.

Do đó GM = GH = HA => G là trọng tâm của $Δ A B C$ .

GN = GK = KD => G là trọng tâm của $Δ D E F$ .

Vậy $Δ A B C$ và $Δ D E F$ có cùng một trọng tâm.

Câu 2

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của D, E, F để chu vi tam giác DEF nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của D, E, F để chu vi tam giác DEF nhỏ nhất. (ảnh 1)

Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó $M F = D F; E N = E D$ .

Chu vi $Δ D E F = D F + F E + E D = M F + F E + E N$

Chu vi $Δ D E F$ nhỏ nhất khi độ dài đường gấp khúc MFEN ngắn nhất. Muốn vậy bốn điểm M, F, E, N phải thẳng hàng theo thứ tự đó.

Do đó ta phải tìm điểm D trên BC sao cho MN nhỏ nhất.

Theo kết quả bài 7.2, để MN nhỏ nhất thì D là hình chiếu của A trên BC. Khi đó E và F lần lượt là giao điểm của MN với AC và AB (h.7.12).

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của D, E, F để chu vi tam giác DEF nhỏ nhất. (ảnh 2)

Ta chứng minh với cách xác định D, E, F như vậy thì chu vi $Δ D E F$ nhỏ nhất.

Thật vậy, khi $A D ⊥ B C$ thì chu vi $Δ D E F$ bằng MN và MN nhỏ nhất. (1)

Khi D, E, F ở những vị trí khác thì chu vi $Δ D E F$ bằng độ dài đường gấp khúc MFEN do đó lớn hơn MN. (2)

Chú ý: Ta có nhận xét điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B, điểm F là chân đường cao vẽ từ đỉnh C của $Δ A B C$ .

Thật vậy, xét $Δ D E F$ có các đường BF và CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt nhau tại A nên tia DA là tia phân giác của góc EDF.

Ta có: $D C ⊥ D A$ nên DC là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của $Δ D E F$ .

Mặt khác, EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh E.

Điểm C là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên FC là đường phân giác trong. Kết hợp với FB là đường phân giác, suy ra $F C ⊥ F B$ hay $C F ⊥ A B$ .

Chứng minh tương tự, ta được $B E ⊥ A C$ .

Như vậy ba điểm D, E, F có thể xác định bởi chân của ba đường cao của tam giác.

Câu 3