Cho tam giác ABC và O là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi A', B', C' lần lượt là các điểm đối xứng với O qua D, E, F. Chứng minh rằng ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 7: Đối xứng trục có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC và O là một điểm tùy ý trong tam giác. Chứng minh rằng ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy. (ảnh 1)

Ta có AC' và BO đối xứng nhau qua F nên AC' = BO và AC' // BO. (1)

BO và CA' đối xứng nhau qua D nên BO = CA' và BO // CA' (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AC' = CA' và AC // CA', do đó tứ giác ACA'C' là hình bình hành.

Chứng minh tương tự ta được tứ giác ABA'B' là hình bình hành.

Hai hình bình hành ACA'C' và ABA'B' có chung đường chéo AA' nên các đường chéo AA', BB', CC' đồng quy.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D đối xứng với A qua điểm B. Vẽ điểm E đối xứng với B qua C. Vẽ điểm F đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEF có cùng một trọng tâm.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D đối xứng với A qua điểm B. Vẽ điểm E đối xứng với B qua C. Vẽ điểm F đối xứng với C qua A. (ảnh 1)

Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC và đường trung tuyến DN của tam giác DEF. Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến này. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của GA và GD.

Xét $Δ F C E$ có AN là đường trung bình => AN // CE và $A N = \frac{1}{2} C E$ do đó AN // BM và AN = BM dẫn tới ANMB là hình bình hành =>MN // AB và $M N = \frac{1}{2} A D$ .

Mặt khác, HK là đường trung bình của $Δ G A D$ nên HK // AD và $H K = \frac{1}{2} A D$ .

Từ đó MN // HK và MN = HK.

Suy ra MNHK là hình bình hành, hai đường chéo HM và NK cắt nhau tại G nên G là trung điểm của mỗi đường.

Do đó GM = GH = HA => G là trọng tâm của $Δ A B C$ .

GN = GK = KD => G là trọng tâm của $Δ D E F$ .

Vậy $Δ A B C$ và $Δ D E F$ có cùng một trọng tâm.

Câu 2

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của D, E, F để chu vi tam giác DEF nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của D, E, F để chu vi tam giác DEF nhỏ nhất. (ảnh 1)

Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó $M F = D F; E N = E D$ .

Chu vi $Δ D E F = D F + F E + E D = M F + F E + E N$

Chu vi $Δ D E F$ nhỏ nhất khi độ dài đường gấp khúc MFEN ngắn nhất. Muốn vậy bốn điểm M, F, E, N phải thẳng hàng theo thứ tự đó.

Do đó ta phải tìm điểm D trên BC sao cho MN nhỏ nhất.

Theo kết quả bài 7.2, để MN nhỏ nhất thì D là hình chiếu của A trên BC. Khi đó E và F lần lượt là giao điểm của MN với AC và AB (h.7.12).

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của D, E, F để chu vi tam giác DEF nhỏ nhất. (ảnh 2)

Ta chứng minh với cách xác định D, E, F như vậy thì chu vi $Δ D E F$ nhỏ nhất.

Thật vậy, khi $A D ⊥ B C$ thì chu vi $Δ D E F$ bằng MN và MN nhỏ nhất. (1)

Khi D, E, F ở những vị trí khác thì chu vi $Δ D E F$ bằng độ dài đường gấp khúc MFEN do đó lớn hơn MN. (2)

Chú ý: Ta có nhận xét điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B, điểm F là chân đường cao vẽ từ đỉnh C của $Δ A B C$ .

Thật vậy, xét $Δ D E F$ có các đường BF và CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt nhau tại A nên tia DA là tia phân giác của góc EDF.

Ta có: $D C ⊥ D A$ nên DC là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của $Δ D E F$ .

Mặt khác, EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh E.

Điểm C là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên FC là đường phân giác trong. Kết hợp với FB là đường phân giác, suy ra $F C ⊥ F B$ hay $C F ⊥ A B$ .

Chứng minh tương tự, ta được $B E ⊥ A C$ .

Như vậy ba điểm D, E, F có thể xác định bởi chân của ba đường cao của tam giác.

Câu 3