Cho A và B là hai điểm thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy (AB không vuông góc với xy). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua xy, C là giao điểm của A’B và xy. Gọi M là điểm bất kỳ khác C thuộc đường thẳng xy.

Chứng minh rằng: AC + CB < AM + MB.

E là điểm đối xứng của A qua B (gt) nên AB = BE

Tứ giác ABCD là HBH =>$\left\{\begin{array}{l}AB\parallel CD\\ AB=CD\end{array}\right.$ 

Mà AB = BE (cmt)$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BE\parallel CD\\ BE=CD\end{array}\right.$  => Tứ giác BDCE là hình bình hành

=> BD // EC và BD = EC.

Chứng minh tương tự cũng có BD // CF và BD = CF.

Vì BD // EC và BD // CF => E, C, F thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit) Mà EC = CF (= BD) nên C là trung điểm EF => E là điểm đối xứng của F qua C.

Cách dựng:

-                Dựng điểm I đối xứng với O qua điểm M.

-                Qua I dựng đường thẳng song song với Oy cắt Ox ở A.

-                Dựng đường thẳng AM cắt Oy ở B.

Chứng minh:

Xét $\Delta MAI$ và $\Delta MBO$ có:

$\widehat{O_1}=\widehat{I_1}$ ( hai góc so le trong)

MO = MI ( Vì I và O đối xứng nhau qua M)

$\widehat{M_1}=\widehat{M_2}$ ( hai góc đối đỉnh)

=> $\Delta MAI=\Delta MBO$ (g.c.g) => MA = MB ( 2 cạnh tương ứng)

Bài toán luôn luôn dựng được một và có một nghiệm hình.