Dạng 4: Bài nâng cao phát triển tư duy có đáp án

Giả sử A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó, ta có AB + BC = AC (1).

Các đoạn thẳng A’B’, B’C’ và A’C’ lần lượt đối xứng với các đoạn thẳng AB, BC, AC qua điểm M nên ta có A’B’ = AB, B’C’ = BC, A’C’ = AC.

Kết hợp đẳng thức (1) ta được A’B’ + B’C’ = A’C’. Vậy A’, B’, C’ thẳng hàng.

Vì ABC cân tại A, AH là đường cao nên AH là tia phân giác của góc A

Lại có: IA = AK => $△$IAK cân tại A, mà AH là tia phân giác của góc A (cmt) => AH là đường trung trực của IK => Điểm I đối xứng với điểm K qua AH

E là điểm đối xứng của A qua B (gt) nên AB = BE

Tứ giác ABCD là HBH =>$\left\{\begin{array}{l}AB\parallel CD\\ AB=CD\end{array}\right.$ 

Mà AB = BE (cmt)$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BE\parallel CD\\ BE=CD\end{array}\right.$  => Tứ giác BDCE là hình bình hành

=> BD // EC và BD = EC.

Chứng minh tương tự cũng có BD // CF và BD = CF.

Vì BD // EC và BD // CF => E, C, F thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit) Mà EC = CF (= BD) nên C là trung điểm EF => E là điểm đối xứng của F qua C.

Gọi O là giao điểm cuả AC, BD.

Tứ giác ABCD là hình bình hành(gt) => O là trung điểm của AC

Tứ giác AECF có AE = CF, AE  // CF nên là hình bình hành (dhnb)

mà O là trung điểm AC nên O là trung điểm EF.

=> EF đi qua O. Vậy các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy tại điểm O.

Cách dựng:

-                Dựng điểm I đối xứng với O qua điểm M.

-                Qua I dựng đường thẳng song song với Oy cắt Ox ở A.

-                Dựng đường thẳng AM cắt Oy ở B.

Chứng minh:

Xét $\Delta MAI$ và $\Delta MBO$ có:

$\widehat{O_1}=\widehat{I_1}$ ( hai góc so le trong)

MO = MI ( Vì I và O đối xứng nhau qua M)

$\widehat{M_1}=\widehat{M_2}$ ( hai góc đối đỉnh)

=> $\Delta MAI=\Delta MBO$ (g.c.g) => MA = MB ( 2 cạnh tương ứng)

Bài toán luôn luôn dựng được một và có một nghiệm hình.

a) M là trung điểm của AD và PE suy ra tứ giác APDE là hình bình hành =>  DE // AP.

N là trung điểm của BC và PF suy ra tứ giác BPCF là hình bình hành =>  FC // PB.

Mặt khác CD // AB nên suy ra các điểm E, F nằm trên đường thẳng CD.