Tìm m để phương trình $x^{2} + 5 x + 3 m - 1 = 0$ ( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Phương trình bậc hai một ẩn - Hệ vi- et và ứng dụng có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Δ = 5^{2} - 4.1. (3 m - 1) = 29 - 12 m$

Để phương trình có hai nghiệm $\Rightarrow Δ \geq 0 \Rightarrow 29 - 12 m \Leftrightarrow m \leq \frac{29}{12}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1} x_{2} = 3 m - 1 \end{cases}$

Ta có: $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) ({(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}) + 3 x_{1} x_{2} = 75$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) (25 - x_{1} x_{2}) + 3 x_{1} x_{2} = 75$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) = \frac{75 - 3 x_{1} x_{2}}{(25 - x_{1} x_{2})}$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) = \frac{75 - 3 (3 m - 1)}{[25 - (3 m - 1)]} \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) = \frac{78 - 9 m}{26 - 3 m}$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) = \frac{3 (26 - 3 m)}{26 - 3 m} \Leftrightarrow x_{1} - x_{2} = 3$

Kết hợp $x_{1} + x_{2} = - 5$ suy ra $x_{1} = - 1; x_{2} = - 4$ Thay vào $x_{1} x_{2} = 3 m - 1$ suy ra $m = \frac{5}{3}$ (thỏa mãn $m \leq \frac{29}{12}$ )

Vậy $m = \frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

Bùi Dũng
00:35 - 30/05/2024

sai hẳng đẳng thức

0
Trả lời

Xem thêm ...

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho phương trình $x^{4} - (m^{2} + 4 m) x^{2} + 7 m - 1 = 0$ . Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $X = x^{2} (X \geq 0)$

Phương trình trở thành $X^{4} - (m^{2} + 4 m) X^{2} + 7 m - 1 = 0$ (1)

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Û (1) có 2 nghiệm phân biệt dương

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases}$ (I) $\Leftrightarrow \{\begin{cases} {(m^{2} + 4 m)}^{2} - 4 (7 m - 1) > 0 \\ m^{2} + 4 m > 0 \\ 7 m - 1 > 0 \end{cases}$

Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương , .

Þ Phương trình đã cho có 4 nghiệm

$x_{1, 2} = \pm \sqrt{X_{1}}$ ;

$x_{3, 4} = \pm \sqrt{X_{2}}$

$\Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 2 (X_{1} + X_{2}) = 2 (m^{2} + 4 m)$

Vậy ta có $2 (m^{2} + 4 m) = 10 \Rightarrow m^{2} + 4 m - 5 = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 5 \end{array}$

Với $m = 1$ , (I) thỏa mãn

Với $m = - 5$ , (I) không thỏa mãn.

Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.

Xem đáp án

Lời giải

b) Xét phương trình $m x^{2} - (5 m - 2) x + 6 m - 5 = 0$

Để để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau thì:

$\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ > 0 \\ x_{1} . x_{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ {(5 m - 2)}^{2} - 4. m . (6 m - 5) > 0 \\ \frac{6 m - 5}{m} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ m^{2} + 4 > 0 \\ 6 m - 5 = m \end{cases}$ (luôn đúng với $\forall m$ ) $\Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn)

Vậy m=1 thì phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.

Câu 3