Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m - 1 \\ x_{1} - 3 x_{2} = 5 - 4 m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = \frac{m + 1}{2} \\ x_{2} = \frac{3 (m - 1)}{2} \end{cases}$

Mặt khác ta có: $x_{1} x_{2} = m^{2} - 1$

$\Rightarrow \frac{m + 1}{2} \cdot \frac{3 (m - 1)}{2} = m^{2} - 1$

$\Leftrightarrow 3 (m^{2} - 1) = 4 (m^{2} - 1)$

$\Leftrightarrow m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$

Kết hợp với điều kiện $m < \frac{5}{4} \Rightarrow m = \pm 1$ (thỏa mãn) là các giá trị cần tìm.

Vậy $m = 1$ hoặc $m = - 1$ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn: ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = x_{1} - 3 x_{2}$ .

Câu 3

Tìm m để phương trình $x^{2} + 5 x + 3 m - 1 = 0$ ( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$

Xem đáp án

Lời giải

$Δ = 5^{2} - 4.1. (3 m - 1) = 29 - 12 m$

Để phương trình có hai nghiệm $\Rightarrow Δ \geq 0 \Rightarrow 29 - 12 m \Leftrightarrow m \leq \frac{29}{12}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1} x_{2} = 3 m - 1 \end{cases}$

Ta có: $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) ({(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}) + 3 x_{1} x_{2} = 75$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) (25 - x_{1} x_{2}) + 3 x_{1} x_{2} = 75$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) = \frac{75 - 3 x_{1} x_{2}}{(25 - x_{1} x_{2})}$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) = \frac{75 - 3 (3 m - 1)}{[25 - (3 m - 1)]} \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) = \frac{78 - 9 m}{26 - 3 m}$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) = \frac{3 (26 - 3 m)}{26 - 3 m} \Leftrightarrow x_{1} - x_{2} = 3$

Kết hợp $x_{1} + x_{2} = - 5$ suy ra $x_{1} = - 1; x_{2} = - 4$ Thay vào $x_{1} x_{2} = 3 m - 1$ suy ra $m = \frac{5}{3}$ (thỏa mãn $m \leq \frac{29}{12}$ )

Vậy $m = \frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm.

Câu 4

Cho phương trình $x^{2} - 10 m x + 9 m = 0$ ( m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với $m = 1$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) Với m=1 phương trình đã cho trở thành $x^{2} - 10 x + 9 = 0$

Ta có a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là $[\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ x_{2} = 9 \end{array}$

Câu 5

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa điều kiện $x_{1} - 9 x_{2} = 0$

Xem đáp án

Lời giải

b) $Δ' = {(- 5 m)}^{2} - 1.9 m = 25 m^{2} - 9 m$

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $Δ' > 0 \Leftrightarrow 25 m^{2} - 9 m > 0$ (*)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 10 m (*) \\ x_{1} x_{2} = 9 m (**) \end{cases}$

từ (*) và giả thiết $x_{1} - 9 x_{2} = 0$ ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 10 m \\ x_{1} - 9 x_{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 10 x_{2} = 10 m \\ x_{1} = 9 x_{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{2} = m \\ x_{1} = 9 m \end{cases}$

Thay vào phương trình (**) ta có: $x_{1} x_{2} = 9 m 9 m^{2} = 9 m \Leftrightarrow 9 m (m - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 1 \end{array}$

Với m=0 ta có $Δ' = 25 m^{2} - 9 m = 0$ không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Với m=1 ta có $Δ' = 25 m^{2} - 9 m = 16 > 0$ thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Vậy với m=1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa điều kiện $x_{1} - 9 x_{2} = 0$ .

Câu 6

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + m - 1 = 0$ (m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với m=0.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Dạng 3: Phương trình chứa tham số có đáp án

🔥 Đề thi HOT:

Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án

Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án

Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án (Phần 2: Hình học)

12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức có lời giải

Chuyên đề 8: Hình học (có đáp án)

12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải

Nội dung liên quan:

Bài tập Toán 9 Chủ đề 1: Bài toán rút gọn có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 2: Giải hệ phương trình có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 5: Hàm số bậc nhất và các hàm số liên quan có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 6: Hàm số bậc hai và các bài toán tương giao với đồ thị hàm số bậc nhất có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 2: Góc với đường tròn có đáp án

Danh sách câu hỏi:

Cho phương trình x2−2m−1x+m2−1=0(x là ẩn số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định m để hai nghiệm x1, x2của phương trình đã cho thỏa mãn: x1−x22=x1−3x2.

Tìm m để phương trình x2+5x+3m−1=0 ( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x13−x23+3x1x2=75

Cho phương trình x2−10mx+9m=0 ( m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m=1 .

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa điều kiện x1−9x2=0

Cho phương trình x2−2(m+1)x+m2+m−1=0 (m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m=0.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 1x1+1x2=4

Cho phương trình 12x2−mx+12m2+4m−1=0( m là tham số). a) Giải phương trình đã cho với m=−1 .

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn 1x1+1x2=x1+x2

Cho phương trình x2−2(m−1)x+m2−3=0 (m là tham số). a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.

Cho phương trình x2+2x−m2−1=0 ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m.

c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1=−3x2

Cho phương trình x2−2m+2x+2m=0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1+x2≤2

Cho phương trình x2−2m−1x+2m−5=0(m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1<1<x2

Cho phương trình x2−mx−1=0 (1) (m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1): Tính giá trị của biểu thức: P=x12+x1−1x1−x22+x2−1x2

Xác định giá trị m trong phương trình x2−8x+m=0 để 4+3 là nghiệm của phương trình. Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại.

Cho phương trình x2−2x+m+3=0(m là tham số). a) Tìm m để phương trình có nghiệm x=−1 . Tính nghiệm còn lại.

b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x13+x23=8

Cho phương trình x2−2mx+m2−12=0 ( m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

c) Tìm m để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.

Cho phương trình x2+2x−m2−1=0 (m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m .

c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1=−3x2

Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình x2−m2x+m+1=0(m là tham số) có nghiệm nguyên.

Cho phương trình: x2−2m−4x+m+6=0 a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Tính theo m biểu thức A=1x1+1x2 rồi tìm m∈ℤ để A∈ℤ.

Cho phương trình: x2−2m−2x−2m=0 (1) với x là ẩn số. a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1,x2

b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x2−x1=x12

Cho phương trình: x2−2x−2m2=0 (1) với x là ẩn số. a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .

b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x12=4x22 .

Cho phương trình: x2–5x+m=0(m là tham số). a) Giải phương trình trên khi m=6.

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:x1−x2=3 .

Cho phương trình x4−(m2+4m)x2+7m−1=0 . Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10

Cho phương trình: x2−2m+1+m2+m−6=0 * a) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.

c) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x13−x23=50 .

Cho phương trình: 2x2+2m−1x+m−1=0 a) Giải phương trình khi m=2 .

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn 3x1−4x2=11

c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1;x2 không phụ thuộc vào m .

d) Với giá trị nào của m thì x1;x2 cùng dương.

Cho phương trình bậc hai:x2+ 2(m−1)x− (m+ 1)= 0 1 a) Tìm giá trị m để phương trình (1) có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn 1.

b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn .

Cho phương trình x2−(2m+3)x+m2+3m+2=0 a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng .Tìm nghiệm còn lại.

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn −3<x1<x2<6

d) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia.

Cho phương trình bậc hai mx2−(5m−2)x+6m−5=0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.

Tỉm giá trị m để phương trình: a) 2x2+mx+m−3=0 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

Tỉm giá trị m để phương trình: b) x2−2(m−1)x+m−3=0 có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

Cho phương trình:x2−2m−1x+m2−3m=0 (1) a) Giải phương trình khi m=−1.

b) Tìm m để pt (1) có nghiệm.

c) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 1x1+1x2=−1

Cho phương trình x2−2m+1x+4m=0 a) Xác đinh m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó

Cho phương trình $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - 1 = 0$ (x là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định m để hai nghiệm $x_{1}$ , $x_{2}$ của phương trình đã cho thỏa mãn: ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = x_{1} - 3 x_{2}$ .

Tìm m để phương trình $x^{2} + 5 x + 3 m - 1 = 0$ ( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$

Cho phương trình $x^{2} - 10 m x + 9 m = 0$ ( m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với $m = 1$ .

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa điều kiện $x_{1} - 9 x_{2} = 0$

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + m - 1 = 0$ (m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với m=0.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4$

Cho phương trình $\frac{1}{2} x^{2} - m x + \frac{1}{2} m^{2} + 4 m - 1 = 0$ ( m là tham số).

a) Giải phương trình đã cho với $m = - 1$ .

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = x_{1} + x_{2}$

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 3 = 0$ (m là tham số).

a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

Cho phương trình $x^{2} + 2 x - m^{2} - 1 = 0$ ( m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: $x_{1} = - 3 x_{2}$

Cho phương trình $x^{2} - (2 m + 2) x + 2 m = 0$ (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn $\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} \leq \sqrt{2}$

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + 2 m - 5 = 0$ (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < 1 < x_{2}$

Cho phương trình $x^{2} - m x - 1 = 0$ (1) (m là tham số).

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

b) Gọi $x_{1}$ , $x_{2}$ là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức: $P = \frac{x_{1}^{2} + x_{1} - 1}{x_{1}} - \frac{x_{2}^{2} + x_{2} - 1}{x_{2}}$

Xác định giá trị m trong phương trình $x^{2} - 8 x + m = 0$ để $4 + \sqrt{3}$ là nghiệm của phương trình. Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại.

Cho phương trình $x^{2} - 2 x + m + 3 = 0$ (m là tham số).

a) Tìm m để phương trình có nghiệm $x = - 1$ . Tính nghiệm còn lại.

b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 8$

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x + m^{2} - \frac{1}{2} = 0$ ( m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

Cho phương trình $x^{2} + 2 x - m^{2} - 1 = 0$ (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: $x_{1} = - 3 x_{2}$

Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình $x^{2} - m^{2} x + m + 1 = 0$ (m là tham số) có nghiệm nguyên.

Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m - 4) x + m + 6 = 0$

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Tính theo m biểu thức $A = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ rồi tìm $m \in ℤ$ để $A \in ℤ$ .

Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m - 2) x - 2 m = 0$ (1) với x là ẩn số.

a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$

b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức $x_{2} - x_{1} = x_{1}^{2}$

Cho phương trình: $x^{2} - 2 x - 2 m^{2} = 0 (1)$ với x là ẩn số.

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .

b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức $x_{1}^{2} = 4 x_{2}^{2}$ .

Cho phương trình: $x^{2} - 5 x + m = 0$ (m là tham số).

a) Giải phương trình trên khi $m = 6$ .

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn: $|x_{1} - x_{2}| = 3$ .

Cho phương trình $x^{4} - (m^{2} + 4 m) x^{2} + 7 m - 1 = 0$ . Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10

Cho phương trình: $x^{2} - (2 m + 1) + m^{2} + m - 6 = 0 ()$
a) Tìm m để phương trình () có hai nghiệm

c) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1}^{3} - x_{2}^{3}| = 50$ .

Cho phương trình: $2 x^{2} + (2 m - 1) x + m - 1 = 0$

a) Giải phương trình khi m=2 .

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $3 x_{1} - 4 x_{2} = 11$

c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa $x_{1}; x_{2}$ không phụ thuộc vào m .

d) Với giá trị nào của m thì $x_{1}; x_{2}$ cùng dương.

Cho phương trình bậc hai: $x^{2} + 2 (m - 1) x - (m + 1) = 0 (1)$
a) Tìm giá trị m để phương trình (1) có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn 1.

Cho phương trình $x^{2} - (2 m + 3) x + m^{2} + 3 m + 2 = 0$

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn $- 3 < x_{1} < x_{2} < 6$

Cho phương trình bậc hai $m x^{2} - (5 m - 2) x + 6 m - 5 = 0$

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.

Tỉm giá trị m để phương trình:

a) $2 x^{2} + m x + m - 3 = 0$ có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

Tỉm giá trị m để phương trình:

b) $x^{2} - 2 (m - 1) x + m - 3 = 0$ có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 3 m = 0$ (1)

a) Giải phương trình khi $m = - 1.$

c) Tìm m để (1) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - 1$

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + 4 m = 0$

a) Xác đinh m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó

f) Định m để phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $2 x_{1} - x_{2} = - 2$

g) Định m để PT có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ sao cho $A = 2 {x_{1}}^{2} + 2 {x_{2}}^{2} - x_{1} x_{2}$ nhận giá trị nhỏ nhất.