Xác định giá trị m trong phương trình $x^2-8x+m=0$  để $4+\sqrt{3}$  là nghiệm của phương trình. Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại.

Đặt $X=x^2\left(X\ge 0\right)$

Phương trình trở thành $X^4-(m^2+4m)X^2+7m-1=0$  (1)

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Û (1) có 2 nghiệm phân biệt dương         

  $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.$   (I)   $\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m^2+4m\right)}^2-4(7m-1)>0\\ m^2+4m>0\\ 7m-1>0\end{array}\right.$

Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương , .

Þ Phương trình đã cho có 4 nghiệm

$x_{1,2}=\pm \sqrt{X_1}$ ;

$x_{3,4}=\pm \sqrt{X_2}$

$\Rightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=2(X_1+X_2)=2(m^2+4m)$

Vậy ta có $2(m^2+4m)=10\Rightarrow m^2+4m-5=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-5\end{array}\right.$

Với $m=1$ , (I) thỏa mãn

Với $m=-5$ , (I) không thỏa mãn.        

Vậy  $m=1$là giá trị cần tìm.

b) Xét phương trình $m{x}^2-\left(5m-2\right)x+6m-5=0$

Để để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau thì:

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta >0\\ x_1.x_2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ {\left(5m-2\right)}^2-4.m.\left(6m-5\right)>0\\ \frac{6m-5}{m}=1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m^2+4>0\\ 6m-5=m\end{array}\right.$(luôn đúng với $\forall m$ ) $\iff m=1$(thỏa mãn)

Vậy m=1 thì phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.