b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức $x_{2} - x_{1} = x_{1}^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Phương trình bậc hai một ẩn - Hệ vi- et và ứng dụng có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Theo câu a, $Δ' > 0, \forall m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa hệ thức Vi-ét:

$\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - [- 2 (m - 2)] = 2 (m - 2) = 2 m - 4 \\ P = x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = - 2 m \end{cases}$

Có $x_{1}$ là nghiệm của phương trình nên ta có ${x_{1}}^{2} - 2 (m - 2) x_{1} - 2 m = 0 \Leftrightarrow {x_{1}}^{2} = 2 (m - 2) x_{1} + 2 m$

Theo đề toán: $x_{2} - x_{1} = x_{1}^{2} \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 2 (m - 2) x_{1} + 2 m$

$\Leftrightarrow 2 m - 4 - x_{1} - x_{1} = 2 (m - 2) x_{1} + 2 m \Leftrightarrow - 4 - 2 x_{1} = (2 m - 4) x_{1} \Leftrightarrow x_{1} = \frac{4}{2 - 2 m} \Leftrightarrow x_{1} = \frac{2}{1 - m}$

Thay $x_{1} = \frac{2}{1 - m}$ vào (1),ta được: ${(\frac{2}{1 - m})}^{2} - 2 (m - 2) (\frac{2}{1 - m}) - 2 m = 0$

$\Leftrightarrow \frac{4}{{(1 - m)}^{2}} - \frac{4 (m - 2) (1 - m)}{{(1 - m)}^{2}} - \frac{2 m {(1 - m)}^{2}}{{(1 - m)}^{2}} = 0 \Rightarrow 4 - 4 (- m^{2} + 3 m - 2) - 2 m (1 - 2 m + m^{2}) = 0 \Leftrightarrow 4 + 4 m^{2} - 12 m + 8 - 2 m + 4 m^{2} - 2 m^{3} = 0 \Leftrightarrow 2 m^{3} - 8 m^{2} + 14 m - 12 = 0 \Leftrightarrow m^{3} - 4 m^{2} + 7 m - 6 = 0 \Leftrightarrow (m - 2) (m^{2} - 2 m + 3) = 0 \Leftrightarrow m = 2$ .

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho phương trình $x^{4} - (m^{2} + 4 m) x^{2} + 7 m - 1 = 0$ . Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $X = x^{2} (X \geq 0)$

Phương trình trở thành $X^{4} - (m^{2} + 4 m) X^{2} + 7 m - 1 = 0$ (1)

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Û (1) có 2 nghiệm phân biệt dương

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases}$ (I) $\Leftrightarrow \{\begin{cases} {(m^{2} + 4 m)}^{2} - 4 (7 m - 1) > 0 \\ m^{2} + 4 m > 0 \\ 7 m - 1 > 0 \end{cases}$

Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương , .

Þ Phương trình đã cho có 4 nghiệm

$x_{1, 2} = \pm \sqrt{X_{1}}$ ;

$x_{3, 4} = \pm \sqrt{X_{2}}$

$\Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 2 (X_{1} + X_{2}) = 2 (m^{2} + 4 m)$

Vậy ta có $2 (m^{2} + 4 m) = 10 \Rightarrow m^{2} + 4 m - 5 = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 5 \end{array}$

Với $m = 1$ , (I) thỏa mãn

Với $m = - 5$ , (I) không thỏa mãn.

Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.

Xem đáp án

Lời giải

b) Xét phương trình $m x^{2} - (5 m - 2) x + 6 m - 5 = 0$

Để để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau thì:

$\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ > 0 \\ x_{1} . x_{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ {(5 m - 2)}^{2} - 4. m . (6 m - 5) > 0 \\ \frac{6 m - 5}{m} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ m^{2} + 4 > 0 \\ 6 m - 5 = m \end{cases}$ (luôn đúng với $\forall m$ ) $\Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn)

Vậy m=1 thì phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.

Câu 3