Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng có đáp án

Ta có $a=1;c=-\left(2-\sqrt{2}\right).$  Và $a.c<0$  nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi-et có:$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-1\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}=-2+\sqrt{2}\end{array}\right.$

$A=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1{x}_2}=\frac{-1}{-2+\sqrt{2}}$.

$B={x_1}^2+{x_2}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-x_1{x}_2=1-\left(-2+\sqrt{2}\right)=3-\sqrt{2}$.

$C=\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2}=\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2}$.

$=\sqrt{1-4\left(-2+\sqrt{2}\right)}=\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{2}+1}=\sqrt{{\left(2\sqrt{2}-1\right)}^2}=2\sqrt{2}-1$.

$D={x_1}^3+{x_2}^3={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)=-1+3\left(-2+\sqrt{2}\right)=-7+3\sqrt{2}$

a) Ta có $a=1;c=-7.$  Và  $a.c<0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-et ta có:$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=3\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}=-7\end{array}\right.$

$A=\frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}=\frac{x_2+x_1-2}{x_1{x}_2-{\left(x_1+x\right)}_2+1}=\frac{1}{-9}$.

$B={x_1}^2+{x_2}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-x_1{x}_2=23$.

$C=\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2}=\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{37}$.

$D={x_1}^3+{x_2}^3={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)=72$.

$E={x_1}^4+{x_2}^4={\left(S^2-2P\right)}^2-2P^2=527$.

$F=\left(3x_1+x_2\right)\left(3x_2+x_1\right)=10x_1{x}_2+3\left(x_1^2+x_2^2\right)=-1$

b) Ta có:$\left\{\begin{array}{l}S=\frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}=\frac{x_2+x_1-2}{x_1{x}_2-{\left(x_1+x\right)}_2+1}=\frac{1}{-9}\\ P=\frac{1}{x_1-1}.\frac{1}{x_2-1}=\frac{1}{-9}\end{array}\right.$

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{x_1-1}$  và $\frac{1}{x_2-1}$  là: $X^2+\frac{1}{9}X-\frac{1}{9}=0$

Ta có  $a=3;c=-6.$ Và $a.c<0$  nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi-et có: $\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-5}{3}\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}=-2\end{array}\right.$

$A=\left(3x_1-2x_2\right)\left(3x_2-2x_1\right)=13x_1{x}_2-6\left(x_1^2+x_2^2\right)=13P-6\left(S^2-2P\right)=\frac{-200}{3}$.

$B=\frac{x_2}{x_1-1}+\frac{x_1}{x_2-1}=\frac{{\left(x_2+x_1\right)}^2-2x_1{x}_2-\left(x_2+x_1\right)-2}{x_1{x}_2-{\left(x_1+x\right)}_2+1}=\frac{38}{3}$.

$C=\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2}=\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2}=\frac{\sqrt{97}}{3}$

.

Xét phương trình  $3x^2+5x-6=0$  có $a.c=3.(-6)<0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-5}{3}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}=-2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}S=y_1+y_2=2x_1-x_2+2x_2-x_1=x_1+x_2=\frac{-5}{3}\\ P=y_1{y}_2=\left(2x_1-x_2\right)\left(2x_2-x_1\right)=5x_1{x}_2-2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]=-\frac{212}{9}\end{array}\right.$