Cho tam giác ABC vuông tại C và BC < CA. Gọi I là điểm trên AB và IB < IA. Kẻ đường thẳng d đi qua I và vuông góc với AB. Gọi giao điểm của d với AC, BC lần lượt là F và E. Gọi M là điểm đối xứng với B qua I.
a) Chứng minh rằng tam giác IME đồng dạng với tam giác IFA và IE. IF = IA. IB

Trên cạnh CD của hình vuông ABCD, lấy một điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính AM. Gọi E là giao điểm của đường tròn tâm (O')   đường kính CD. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm thứ hai N. Tia DN cắt BC tại P. Chứng minh rằng:

Cho đường tròn (O), M là điểm ở ngoài (O), hai tiếp tuyến  MAvà  MB( A, B là hai tiếp tuyến), C là một điểm trên đường tròn tâm M bán kính MA và nằm trong đường tròn (O). Các tia AC và BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại  E và D.

Chứng minh ba điểm  D,O,E thẳng hàng.

Cho (O) đường kính AB. Điểm M chuyển động trên (O), $M\ne A$ ; $M\ne B$. Kẻ MH vuông góc với AB. Vẽ đường tròn $\left(O_1\right)$  đường kính MH cắt đường thẳng MA và MB tại C và D  . Chứng minh rằng:

Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$ ;  P,Q,R lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC, CA và .

Chứng minh rằng:

a) Các điểm $M,B,P,R$ cùng thuộc một đường tròn.