Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$ ;  P,Q,R lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC, CA và .

Chứng minh rằng:

a) Các điểm $M,B,P,R$ cùng thuộc một đường tròn.

Trên cạnh CD của hình vuông ABCD, lấy một điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính AM. Gọi E là giao điểm của đường tròn tâm (O')   đường kính CD. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm thứ hai N. Tia DN cắt BC tại P. Chứng minh rằng:

Cho (O) đường kính AB. Điểm M chuyển động trên (O), $M\ne A$ ; $M\ne B$. Kẻ MH vuông góc với AB. Vẽ đường tròn $\left(O_1\right)$  đường kính MH cắt đường thẳng MA và MB tại C và D  . Chứng minh rằng:

Cho đường tròn (O), M là điểm ở ngoài (O), hai tiếp tuyến  MAvà  MB( A, B là hai tiếp tuyến), C là một điểm trên đường tròn tâm M bán kính MA và nằm trong đường tròn (O). Các tia AC và BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại  E và D.

Chứng minh ba điểm  D,O,E thẳng hàng.

c) Cho AB cố định, C thay đổi sao cho $\widehat{BCA}={90}^0$ . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua hai điểm cố định và tâm đường tròn này nằm trên đường thẳng cố định