Câu hỏi:

19/08/2025 1,104

Cho tam giác nhọn ABC .Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC , IK ^AB . Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z.Tìm vị trí của I sao cho tổng x² +y² +z²nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Đặt BK = k , CM = m , AN = n ,

BC = a , AC = b , AB = c .

x² +y² +z² =

=(IA² - IK² ) + (IB² - IM² ) + (IC² - IN² )

= (IA² - IN² ) + (IB² - IK² ) + (IC² - IM² ) = n² + k² + m²

Þ 2(x² +y² +z² ) = x² +y² +z² + n² + k² + m²

= ( x²+ k² )+( y²+ m² )+( z²+ n² )

x²+ k² ≥ $\frac{{(x + k)}^{2}}{2} = \frac{A B^{2}}{2} = \frac{c^{2}}{2}$ y²+ m² ≥ $\frac{{(y + m)}^{2}}{2} = \frac{B C^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2}$

z²+ n² ≥ $\frac{{(z + n)}^{2}}{2} = \frac{A C^{2}}{2} = \frac{b^{2}}{2}$

Þ x² +y² +z² ≥ $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4}$ .

min(x² +y² +z² ) = $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4}$ Û x = k , y = m , z = n.

Û I là giao điểm của các đường trung trực của DABC.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình vuông ABCD cạnh a .Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm trong hình vuông ) .một tiếp tuyến bất kỳ với cung đó cắt BC, CD theo thứ tự ở M và N. Tính độ dài nhỏ nhất của MN.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Đặt CM = m , CN = n , MN = x

m + n + x = 2CD = 2a và m² +n² = x²

Do đó : x²= m² +n² ≥

$\Rightarrow$ 2x² ≥ ( 2a - x)² Þ ≥ 2a - x

$\Rightarrow$ x ≥

$\Rightarrow$ min MN =2a Û m = n . Khi đó tiếp tuyến MN // BD , AM là tia phân giác của

$\Rightarrow$ AN là phân giác của

Câu 2

Cho D ABC vuông tại A . Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC , IK ^AB . Tìm vị trí của I sao cho tổng IM² +IN² +IK² nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Kẻ AH ^BC , IE ^AH

ANIK ,IMHE là các hình chữ nhật.

IK²+ IN² = IK² +AK² = AI² ≥ AE²

IM = EH

nên IK²+ IN² + IM² = AI²+EH² ≥ AE²+EH²

Đặt AE = x , EH =y ta có :

Þ IK²+ IN² + IM² ≥ .

Dấu “=” xảy ra khi I là trung điểm của đường cao AH.

Câu 3