Câu hỏi:

31/10/2022 1,944

Cho tam giác ABC với AB=c, BC=a, CA=b và có trọng tâm G. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC,CA,AB

Chứng minh rằng $a^{2} . \vec{G D} + b^{2} . \vec{G E} + c^{2} . \vec{G F} = \vec{0}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 112 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của vecto với một số có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho

G N = a, G P = b, G Q = c

và dựng hình bình hành

G P R N

Ta có

a^{2} . \vec{G D} + b^{2} . \vec{G E} + c^{2} . \vec{G F} = \vec{0}

\Leftrightarrow a . G D . \vec{G N} + b . G E . \vec{G P} + c . G F . \vec{G Q} = \vec{0}

(*)
Ta có

a . G D = 2 S_{Δ G B C}, b . G E = 2 S_{Δ G C A}, c . G F = 2 S_{Δ G A B}

, mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên

S_{Δ G B C} = S_{Δ G C A} = S_{Δ G A B}

suy ra

a . G D = b . G E = c . G F

Vậy

(*) \Leftrightarrow \vec{G N} + \vec{G P} + \vec{G Q} = \vec{0}

Ta có

A C = G P = b, P R = B C = a

và

\hat{A C B} = \hat{G P R}

(góc có cặp cạnh vuông góc với nhau)
Suy ra

Δ A C B = Δ G P R (c . g . c)

\Rightarrow G R = A B = c

và

\hat{P G R} = \hat{B A C}

Ta có

\hat{Q G P} + \hat{B A C} = 180^{0} \Rightarrow \hat{Q G P} + \hat{G P R} = 180^{0} \Rightarrow Q, G, R

thẳng hàng do đó G là trung điểm của QR
Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có

\vec{G N} + \vec{G P} + \vec{G Q} = \vec{G R} + \vec{G Q} = \vec{0}

Vậy

a^{2} . \vec{G D} + b^{2} . \vec{G E} + c^{2} . \vec{G F} = \vec{0}

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng $a \vec{I A} + b \vec{I B} + c \vec{I C} = \vec{0}$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1:

Media VietJack

(Hình 1.19)Gọi D là chân đường phân giác góc A
Do D là đường phân giác giác trong góc A nên ta có
$\begin{array}{l} \frac{D B}{D C} = \frac{c}{b} \Rightarrow \vec{B D} = \frac{c}{b} \vec{D C} \\ \Leftrightarrow \vec{I D} - \vec{I B} = \frac{c}{b} (\vec{I C} - \vec{I D}) \\ \Leftrightarrow (b + c) \vec{I D} = b \vec{I B} + c \vec{I C} (1) \end{array}$
Do I là chân đường phân giác nên ta có :

$\begin{array}{l} \frac{I D}{I A} = \frac{B D}{B A} = \frac{C D}{C A} = \frac{B D + C D}{B A + C A} = \frac{a}{b + c} \\ \Rightarrow (b + c) \vec{I D} = - a \vec{I A} (2) \end{array}$
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Cách 2:

Media VietJack

(hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’
Ta có $\vec{I C} = \vec{I A'} + \vec{I B'}$ (*)
Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác trong ta có :
$\frac{I B}{I B'} = \frac{B A_{1}}{C A_{1}} = \frac{c}{b} \Rightarrow \vec{I B'} = - \frac{b}{c} \vec{I B} (1)$
Tương tự : $\vec{I A'} = - \frac{a}{c} \vec{I A} (2)$

Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có :
$\vec{I C} = - \frac{a}{c} \vec{I A} - \frac{b}{c} \vec{I B} \Leftrightarrow a \vec{I A} + b \vec{I B} + c \vec{I C} = \vec{0}$

Câu 2

Cho hình vuông ABCD cạnh a .

a) Chứng minh rằng $\vec{u} = \vec{M A} - 2 \vec{M B} + 3 \vec{M C} - 2 \vec{M D}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi O là tâm hình vuông.

Theo quy tắc ba điểm ta có

$\begin{array}{l} \vec{u} = (\vec{M O} + \vec{O A}) - 2 (\vec{M O} + \vec{O B}) + 3 (\vec{M O} + \vec{O C}) - 2 (\vec{M O} + \vec{O D}) \\ = \vec{O A} - 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} - 2 \vec{O D} \end{array}$

Mà $\vec{O D} = - \vec{O B}, \vec{O C} = - \vec{O A}$ nên $\vec{u} = - 2 \vec{O A}$

Suy ra $\vec{u}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm M

Câu 3

Cho hai tam giác ABC và $A_{1} B_{1} C_{1}$ có cùng trọng tâm G. Gọi $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ lần lượt là trọng tâm tam giác $B C A_{1}, A B C_{1}, A C B_{1}$ . Chứng minh rằng $\vec{G G_{1}} + \vec{G G_{2}} + \vec{G G_{3}} = \vec{0}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC. Đặt $\vec{a} = \vec{A B}, \vec{b} = \vec{A C}$ .

a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}, \vec{C N} = 2 \vec{B C}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình vuông ABCD cạnh a

a) Chứng minh rằng $\vec{u} = 4 \vec{M A} - 3 \vec{M B} + \vec{M C} - 2 \vec{M D}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi điểm M, N lần lượt là trung điểm BC,CA. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.

a) $\vec{A N} + \frac{1}{2} \vec{C B}$

A. $\frac{a}{6}$

B. $\frac{a}{5}$

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho trước hai điểm A, B và hai số thực $α$ , $β$ thoả mãn $α + β \neq 0.$ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn $α \vec{I A} + β \vec{I B} = \vec{0} .$

Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì $α \vec{M A} + β \vec{M B} = (α + β) \vec{M I} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tam giác ABC với AB=c, BC=a, CA=b và có trọng tâm G. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC,CA,AB Chứng minh rằng a2.GD→+b2.GE→+c2.GF→=0→

Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng aIA→+bIB→+cIC→=0→

Cho hình vuông ABCD cạnh a . a) Chứng minh rằng u→=MA→−2MB→+3MC→−2MD→ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm G. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm tam giác BCA1, ABC1, ACB1 . Chứng minh rằng GG1→+GG2→+GG3→=0→

Cho tam giác ABC. Đặt a→=AB→, b→=AC→ . a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: AM→=13AB→, CN→=2BC→

Cho hình vuông ABCD cạnh a a) Chứng minh rằng u→=4MA→−3MB→+MC→−2MD→ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi điểm M, N lần lượt là trung điểm BC,CA. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng. a) AN→+12CB→

Cho trước hai điểm A, B và hai số thực α , β thoả mãn α+β≠0. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn αIA→+βIB→=0→. Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì αMA→+βMB→=(α+β)MI→.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC với AB=c, BC=a, CA=b và có trọng tâm G. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC,CA,AB

Chứng minh rằng $a^{2} . \vec{G D} + b^{2} . \vec{G E} + c^{2} . \vec{G F} = \vec{0}$

Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng $a \vec{I A} + b \vec{I B} + c \vec{I C} = \vec{0}$

Cho hình vuông ABCD cạnh a .

a) Chứng minh rằng $\vec{u} = \vec{M A} - 2 \vec{M B} + 3 \vec{M C} - 2 \vec{M D}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Cho hai tam giác ABC và $A_{1} B_{1} C_{1}$ có cùng trọng tâm G. Gọi $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ lần lượt là trọng tâm tam giác $B C A_{1}, A B C_{1}, A C B_{1}$ . Chứng minh rằng $\vec{G G_{1}} + \vec{G G_{2}} + \vec{G G_{3}} = \vec{0}$

Cho tam giác ABC. Đặt $\vec{a} = \vec{A B}, \vec{b} = \vec{A C}$ .

a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}, \vec{C N} = 2 \vec{B C}$

Cho hình vuông ABCD cạnh a

a) Chứng minh rằng $\vec{u} = 4 \vec{M A} - 3 \vec{M B} + \vec{M C} - 2 \vec{M D}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi điểm M, N lần lượt là trung điểm BC,CA. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.

a) $\vec{A N} + \frac{1}{2} \vec{C B}$