Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b. Gọi I là tâm và D, E, F lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC, CA, AB của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

a) $\left(\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}\right)\overrightarrow{IA}+\left(\cot \frac{C}{2}+\cot \frac{A}{2}\right)\overrightarrow{IB}+\left(\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}\right)\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$   

Cho hình vuông ABCD cạnh a  .

a) Chứng minh rằng  $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$  không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Cho hai tam giác ABC và $A_1{B}_1{C}_1$  có cùng trọng tâm G. Gọi $G_1,G_2,G_3$  lần lượt là trọng tâm tam giác $BC{A}_1,AB{C}_1,AC{B}_1$ . Chứng minh rằng $\overrightarrow{G{G}_1}+\overrightarrow{G{G}_2}+\overrightarrow{G{G}_3}=\overrightarrow{0}$

Cho tam giác ABC. Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$ .

 a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{BC}$

Cho hình vuông ABCD cạnh a

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$  không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi điểm M, N   lần lượt là trung điểm BC,CA. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.

a) $\overrightarrow{AN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$

Cho trước hai điểm A, B và hai số thực $\alpha$ , $\beta$ thoả mãn  $\alpha +\beta \ne 0.$  Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn  $\alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}.$

Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì $\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=(\alpha +\beta )\overrightarrow{MI}.$