Cho đa giác lồi $A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n$ ( $n\ge 3$  ); $\overrightarrow{e_i},1\le i\le n$  là vectơ đơn vị vuông góc với $\overrightarrow{A_i{A}_{i+1}}$  (xem $A_{n+1}\equiv A_1$ ) và hướng ra phía ngoài đa giác. Chứng minh rằng

  $A_1{A}_2\overrightarrow{e_1}+A_2{A}_3\overrightarrow{e_2}+\mathrm{...}+A_n{A}_1\overrightarrow{e_n}=\overrightarrow{0}$

 (định lý con nhím)

Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$   

Cho hình vuông ABCD cạnh a  .

a) Chứng minh rằng  $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$  không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Cho tam giác ABC. Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$ .

 a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{BC}$

Cho hai tam giác ABC và $A_1{B}_1{C}_1$  có cùng trọng tâm G. Gọi $G_1,G_2,G_3$  lần lượt là trọng tâm tam giác $BC{A}_1,AB{C}_1,AC{B}_1$ . Chứng minh rằng $\overrightarrow{G{G}_1}+\overrightarrow{G{G}_2}+\overrightarrow{G{G}_3}=\overrightarrow{0}$

Cho hình vuông ABCD cạnh a

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$  không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi điểm M, N   lần lượt là trung điểm BC,CA. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.

a) $\overrightarrow{AN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$

Cho trước hai điểm A, B và hai số thực $\alpha$ , $\beta$ thoả mãn  $\alpha +\beta \ne 0.$  Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn  $\alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}.$

Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì $\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=(\alpha +\beta )\overrightarrow{MI}.$