Cho số phức z thỏa mãn $\overline{z}=\frac{1+3i}{1-i}.$ Môđun của số phức $w=i.\overline{z}+z$ là

Ta có

$$\begin{gathered} w=\left(6+8i\right)\overline{z}+{\left(1-2i\right)}^2 \\ \iff w-\left(-3-4i\right)=\left(6+8i\right)\overline{z} \\ \iff \left|w-\left(-3-4i\right)\right|=\sqrt{6^2+8^2}\left|\overline{z}\right| \\ \iff \left|w-\left(-3-4i\right)\right|=10.10\iff \left|w-\left(-3-4i\right)\right|=100 \end{gathered}$$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn (C) có tâm I(-3;-4)

Giả sử $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$ và M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z

Ta có: $\left|z-\left(2m-1\right)-i\right|=10\iff {\left|z-\left(2m-1\right)-i\right|}^2=100$

$\iff {\left[x-\left(2m-1\right)\right]}^2+{\left(y-1\right)}^2=100.$

Khi đó điểm biểu diễn số phức z  nằm trên đường tròn (C) có tâm I(2m - 1;1)  bán kính R = 10

Lại có $\left|z-1+i\right|=\left|\overline{z}-2+3i\right|\iff {\left|\left(x-1\right)+\left(y+1\right)i\right|}^2={\left|\left(x-2\right)+\left(3-y\right)i\right|}^2$

$\iff {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2={\left(x-2\right)}^2+{\left(3-y\right)}^2\iff 2\text{x}+8y-11=0.$

Khi đó điểm biểu diễn số phức z  cũng nằm trên đường thẳng $\Delta :2x+8y-11=0$

Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng $△$ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.

Tức là $d\left(I,\Delta \right)<10\iff \frac{\left|2\left(2m-1\right)+8-11\right|}{\sqrt{2^2+8^2}}<10\iff \frac{5-20\sqrt{17}}{4}<m<\frac{5+20\sqrt{17}}{4}.$

Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.