Câu hỏi:

11/01/2023 881

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, AC = 3 cm. Gọi M điểm di động trên cạnh BC sao cho MH vuông góc với AB tại H. Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên một hình nón, thể tích lớn nhất của hình nón được tạo thành là

A. $\frac{π}{3}$

B. $\frac{4 π}{3}$

C. $\frac{8 π}{3}$

D. $4 π$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Mặt nón có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Đặt $A H = x (c m), 0 < x < 6$

Khi đó $B H = 6 - x (c m)$

Xét tam giác BHM vuông tại H.

Ta có $\tan \hat{H B M} = \frac{H M}{B H}$

$\Rightarrow H M = B H . \tan \hat{H B M} = (6 - x) . \tan \hat{H B M}$

Mà $\tan \hat{H B M} = \tan \hat{A B C} = \frac{A C}{A B} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Do đó $H M = (6 - x) . \frac{1}{2}$

Thể tích của khối nón tạo thành khi tam giác AHM quay quanh cạnh AH là $V = \frac{1}{3} A H . π . H M^{2} = \frac{π}{3} . x . \frac{1}{4} {(6 - x)}^{2} = \frac{π}{12} (x^{3} - 12 x^{2} + 36 x)$ (1).

Xét hàm số $f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 36 x$ với 0 < x < 6, ta có

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 24 x + 36; (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 24 x + 36 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 6 \end{array}$

Bảng biến thiên của hàm số $f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 36 x$ với 0 < x < 6

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, AC = 3 cm. Gọi M điểm di động trên cạnh BC sao cho MH vuông góc với AB tại H. (ảnh 1)

Từ (1) và bảng biến thiên ta có thể tích lớn nhất của khối nón tạo thành là $V = \frac{π}{12} .32 = \frac{8 π}{3}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ và $\hat{S A O} = 30 °$ , $\hat{S A B} = 60 °$ . Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng

A. $a \sqrt{2}$

B. $a \sqrt{3}$

C. $2 a \sqrt{3}$

D. $a \sqrt{5}$

Lời giải

Chọn A

Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AB, dựng $O H ⊥ S I$

Ta có $O H = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Do $\hat{S A B} = 60 °$ nên tam giác SAB đều.

Suy ra $S A = S B = A B$

Mặt khác

\hat{S A O} = 30 ° \Rightarrow S O = S A . \sin 30 ° = \frac{1}{2} S A

và $O A = S A . \cos 30 ° = \frac{S A . \sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SOI ta có

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{1}{O I^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{1}{O A^{2} - A I^{2}} = \frac{1}{(\frac{1}{2}) S A^{2}} + \frac{1}{{(\frac{S A \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2} S A)}^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{6}{S A^{2}} \Leftrightarrow S A = O H \sqrt{6} = \frac{a \sqrt{3}}{3} . \sqrt{6} = a \sqrt{2}$

Câu 2

Cho hình nón (N) có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r. Kí hiệu S_xq là diện tích xung quanh của khối nón (N). Công thức nào sau đây là đúng?

A. $S_{x q} = π r h$

B. $S_{x q} = 2 π r l$

C. $S_{x q} = 2 π r^{2} h$

D. $S_{x q} = π r l$

Lời giải

Đáp án D

Câu 3

Xét các hình nón có đường sinh với độ dài đều bằng 10cm. Chiều cao của hình nón có thể tích lớn nhất là

A. $5 \sqrt{3}$ cm

B. $10 \sqrt{3}$ cm

C. $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ cm

D. $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ cm

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình nón (N) có góc ở đỉnh bằng 60^o. Mặt phẳng qua trục của (N) cắt (N) theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. Thể tích khối nón (2) là

A. $V = 3 \sqrt{3} π$

B. $V = 4 \sqrt{3} π$

C. $V = 3 π$

D. $V = 6 π$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong tất cả các hình nón có độ dài đường sinh bằng l . Hình nón có thể tích lớn nhất bằng

A. $\frac{π l^{3} \sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{2 π l^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{π l^{3} \sqrt{3}}{27}$

D. $\frac{2 π l^{3} \sqrt{3}}{27}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng R, chiều cao bằng h, độ dài đường sinh bằng l . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $l = \sqrt{R^{2} - h^{2}}$

B. $R = l^{2} + h^{2}$

C. $h = \sqrt{R^{2} - l^{2}}$

D. $l = \sqrt{R^{2} + h^{2}}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 1. Gọi (N) là một hình nón có tâm đường tròn đáy trùng với tâm của hình vuông ABCD, đồng thời các điểm A', B', C', D' nằm trên các đường sinh của hình nón như hình vẽ. Thể tích khối nón (N) có giá trị nhỏ nhất bằng

A. $\frac{2 π}{3}$

B. $\frac{3 π}{4}$

C. $\frac{9 π}{8}$

D. $\frac{9 π}{16}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học