Cho x, y là những số thực thỏa mãn x2−xy+y2=1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=x4+y4+1x2+y2+1. Giá trị của A = M + 15m là: A. A=17−26 B. A=17+6 C. A=17+26 D. A=17−6

Đáp án ATa có:+ 1+xy=x2+y2≥2xy⇔xy≤1 vì x−y2=x2+y2−2xy≥0+ x2−xy+y2=1⇔x+y2−3xy=1⇔x+y2=1+3xy≥0⇔xy≥−13Khi đóP=x4+y4+1x2+y2+1=x2+y22−2x2y2+1x2+y2+1=1+xy2−2xy2+1xy+2Đặt t=xy,t∈−13;1, xét hàm số P=−t2+2t+2t+2P'=−t2−4t+22;P'=0⇔t=−2+6Mà P−13=1115;P(1)=1;P−2+6=6−26Khi đó m=P−13=1115;M=P−2+6=6−26Vậy A=M+15m=17−26

Câu hỏi:

14/05/2021 1,001

Cho x, y là những số thực thỏa mãn $x^{2} - x y + y^{2} = 1$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{x^{4} + y^{4} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ . Giá trị của A = M + 15m là:

A. $A = 17 - 2 \sqrt{6}$

B. $A = 17 + \sqrt{6}$

C. $A = 17 + 2 \sqrt{6}$

D. $A = 17 - \sqrt{6}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 65 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 1 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Ta có:

+ $1 + x y = x^{2} + y^{2} \geq 2 x y \Leftrightarrow x y \leq 1$ vì ${(x - y)}^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y \geq 0$

$+ x^{2} - x y + y^{2} = 1 \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} - 3 x y = 1 \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} = 1 + 3 x y \geq 0 \Leftrightarrow x y \geq - \frac{1}{3}$

Khi đó

$P = \frac{x^{4} + y^{4} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x^{2} y^{2} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1} = \frac{{(1 + x y)}^{2} - 2 {(x y)}^{2} + 1}{x y + 2}$

Đặt $t = x y, t \in [- \frac{1}{3}; 1]$ , xét hàm số $P = \frac{- t^{2} + 2 t + 2}{t + 2}$

$P' = \frac{- t^{2} - 4 t + 2}{^{2}}; P' = 0 \Leftrightarrow t = - 2 + \sqrt{6}$

Mà $P (- \frac{1}{3}) = \frac{11}{15}; P (1) = 1; P (- 2 + \sqrt{6}) = 6 - 2 \sqrt{6}$

Khi đó $m = P (- \frac{1}{3}) = \frac{11}{15}; M = P (- 2 + \sqrt{6}) = 6 - 2 \sqrt{6}$

Vậy $A = M + 15 m = 17 - 2 \sqrt{6}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một sợi dây có chiều dài là 6m, được chia thành hai phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai được uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất?

A. $\frac{18 \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}} (m)$

B. $\frac{12}{4 + \sqrt{3}} (m)$

C. $\frac{18}{9 + 4 \sqrt{3}} (m)$

D. $\frac{36 \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}} (m)$

Lời giải

Đáp án C

Gọi cạnh tam giác đều là x khi đó chu vi tam giác đều là 3x và chu vi hình vuông là 6 - 3x

Cạnh hình vuông có độ dài là $\frac{6 - 3 x}{4}, (0 < x < 2)$

Tổng diện tích hình tam giác đều và hình vuông là:

$S = \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} + {(\frac{6 - 3 x}{4})}^{2} = \frac{(4 \sqrt{3} + 9) x^{2} - 36 x + 36}{16} = f (x)$

Khảo sát hàm số f(x) trên $(0 < x < 2)$ ta thấy $S_{\min} \Leftrightarrow x = \frac{18}{4 \sqrt{3} + 9}$

Câu 2

Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 3}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiêu điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Đáp án B

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y = 1 \Leftrightarrow y - 1 = 0$

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 3 \Leftrightarrow x - 3 = 0$

Giả sử $M (x_{0}; \frac{x_{0} + 2}{x_{0} - 3})$ thuộc đồ thị hàm số

Từ để bài ta có phương trình

$5 |x_{0} - 3| = |\frac{x_{0} + 2}{x_{0} - 3} - 1| \Leftrightarrow 5 |x_{0} - 3| = |\frac{5}{x_{0} - 3}| \Leftrightarrow {(x_{0} - 3)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 3 = - 1 \\ x - 3 = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{0} = 2 \\ x_{0} = 4 \end{matrix}$

Vậy ta có hai điểm thỏa mãn đề bài là: $(2; - 4)$ và $(4; 6)$

Câu 3

Tìm m để hàm số $y = \frac{2 \cot x + 1}{\cot x + m}$ đồng biến trên khoảng $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ ?

A. $m \in (- \infty; - 2)$

B. $m \in (- \infty; - 1] \cup [0; \frac{1}{2})$

C. $m \in (- 2; + \infty)$

D. $m \in (\frac{1}{2}; + \infty)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = \frac{5}{x - 2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $R \ \{2\}$

B. Hàm số nghịch biến trên $(- 2; + \infty)$

C. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 2)$ và $(2; + \infty)$

D. Hàm số nghịch biến trên R

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là $64 π (m^{3})$ . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất?

A. $r = 3 (m)$

B. $r = \sqrt[3]{16} (m)$

C. $r = \sqrt[3]{32} (m)$

D. $r = 4 (m)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{1 - 3 x}{3 - x}$ có đồ thị (C). Điểm M nằm trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của (C). Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng của (C) bằng:

A. $3 \sqrt{2}$

B. $2 \sqrt{5}$

C. 4

D. 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị $y = f' (x)$ cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ $a < b < c$ như hình vẽ:
Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?

A. $f (a) > f (b) > f (c)$

B. $f (b) > f (a) > f (c)$

C. $f (c) > f (a) > f (b)$

D. $f (c) > f (b) > f (a)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho x, y là những số thực thỏa mãn x2−xy+y2=1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=x4+y4+1x2+y2+1. Giá trị của A = M + 15m là:

Cho hàm số y=x+2x−3 có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiêu điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng

Tìm m để hàm số y=2cotx+1cotx+m đồng biến trên khoảng π4;π2?

Cho hàm số y=5x−2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là 64πm3. Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất?

Cho hàm số y=1−3x3−x có đồ thị (C). Điểm M nằm trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của (C). Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng của (C) bằng:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị y=f'(x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a<b<c như hình vẽ:Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x, y là những số thực thỏa mãn $x^{2} - x y + y^{2} = 1$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{x^{4} + y^{4} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ . Giá trị của A = M + 15m là:

Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 3}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiêu điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng

Tìm m để hàm số $y = \frac{2 \cot x + 1}{\cot x + m}$ đồng biến trên khoảng $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ ?

Cho hàm số $y = \frac{5}{x - 2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là $64 π (m^{3})$ . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất?

Cho hàm số $y = \frac{1 - 3 x}{3 - x}$ có đồ thị (C). Điểm M nằm trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của (C). Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng của (C) bằng:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị $y = f' (x)$ cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ $a < b < c$ như hình vẽ:
Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?