Câu hỏi:

17/05/2021 375

Cho x, y là các số thực thỏa mãn $2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + x y + y^{2}$

A. 1

B. $\frac{3}{4}$

C. $- \frac{3}{4}$

D. 0

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 câu Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1$

$\Leftrightarrow 2^{x + y} (3^{x + y} + 1) = 6 x + 6 y + 2$

$\Leftrightarrow 6^{x + y} + 2^{x + y} = 6 (x + y) + 2$

Đặt $x + y = t$ , phương trình trở thành $6^{t} + 2^{t} = 6 t + 2 \Leftrightarrow 6^{t} + 2^{t} - 6 t - 2 = 0$

Xét hàm số $f (t) = 6^{t} + 2^{t} - 6 t - 2$ ta có:

$f' (t) = 6^{t} . \ln 6 + 2^{t} . \ln 2 - 6$

$f'' (t) = 6^{t} . \ln^{2} 6 + 2^{t} . \ln^{2} 2 > 0 \forall t \in R$

Do đó hàm số $y = f' (t)$ đồng biến trên R, suy ra phương trình $f' (t) = 0$ có nhiều nhất 1 nghiệm

Suy ra phương trình $f (t) = 0$ có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có $\{\begin{matrix} f (0) = 6^{0} + 2^{0} - 6.0 - 2 = 0 \\ f (1) = 6^{1} + 2^{1} - 6.1 - 2 = 0 \end{matrix}$ do đó phương trình $f (t) = 0$ có đúng 2 nghiệm t = 0, t = 1.

$\Rightarrow [\begin{matrix} x + y = 0 \\ x + y = 1 \end{matrix}$

TH1: $x + y = 0 \Rightarrow y = - x$ thay vào P ta có: $P = x^{2} + x y + y^{2} = x^{2} \geq 0$

TH2: $x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$ thay vào P ta có:

$P = x^{2} + x (1 - x) + {(1 - x)}^{2} = x^{2} - x + 1$ $= {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi x + y = 0

Đáp án cần chọn là: D

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x + 2020$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty)$

A. 2

B. 1

C. Vô số

D. 3

Lời giải

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1)$

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$

Ta có: $Δ' = m^{2} - m^{2} + 1 = 1 > 0$ , khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $[\begin{matrix} x_{1} = m + 1 \\ x_{2} = m - 1 \end{matrix}$

Ta có BBT:

Ta có:

$f (m - 1) = m^{3} - 3 m + 2022$

$f (m + 1) = m^{3} - 3 m + 2018$

TH1: $0 < m - 1 \Leftrightarrow m > 1$

Ta có: $f (0) = 2020$

Để hàm số có GTNN trên $(0; + \infty)$ thì $f (m + 1) \leq f (0) \Leftrightarrow m^{3} - 3 m + 2018 \leq 2020$

$\Leftrightarrow m^{3} - 3 m - 2 \leq 0$

Xét hàm số $f (m) = m^{3} - 3 m - 2$ ta có $f' (m) = 3 m^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $f (m) \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 2$

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow 1 < m \leq 2$

TH2: $m - 1 \leq 0 < m + 1 \Leftrightarrow - 1 < m \leq 1$ , khi đó GTNN của hàm số trên $(0; + \infty)$ là $f (m + 1)$

Kết hợp 2 trường hợp ta có: $[\begin{matrix} 1 < m \leq 2 \\ - 1 < m \leq 1 \end{matrix}$ mà $m \in Z \Rightarrow m \in \{0; 1; 2\}$

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x - m^{2} - 2}{x - m}$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng – 1.

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Lời giải

ĐK: $x \neq m$

Ta có: $y' = \frac{m^{2} - m + 2}{{(x - m)}^{2}}$ nhận thấy $m^{2} - m + 2 = {(m - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{7}{4} > 0, \forall m$ nên $y' > 0 \forall m$

Hay hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Để hàm số đạt $G T L N$ trên $[0; 4] \Rightarrow m \notin [0; 4] \Leftrightarrow [\begin{matrix} m < 0 \\ m > 4 \end{matrix}$

Suy ra $\max_{[0; 4]} y = y (4) = \frac{4 - m^{2} - 2}{4 - m}$ . Theo bài ra ta có: $\frac{4 - m^{2} - 2}{4 - m} = - 1 \Rightarrow - m^{2} + 2 = m - 4 \Leftrightarrow m^{2} + m + 6 = 0 \Rightarrow [\begin{matrix} m = 2 (k t m) \\ m = - 3 (t m) \end{matrix}$

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$ . Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm bất kì trên (C). Khi tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất, tính tổng $x_{M} + y_{M}$

A. 1

B. $2 - 2 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{2} - 1$

D. $2 - \sqrt{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} - \frac{x^{2}}{4} + x$ . Gọi $M = \max_{x \in [0; 3]} f (x); m = \min_{x \in [0; 3]} f (x)$ . Khi đó $M - m$ bằng:

A. 1

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{7}{5}$

D. $\frac{9}{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho f (x) mà đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ bên
Bất phương trình $f (x) > \sin \frac{π x}{2} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 3]$ khi và chỉ khi:

A. $m < f (0)$

B. $m < f (1) - 1$

C. $m < f (- 1) + 1$

D. $m < f (2)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hai số thực x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \sqrt{y^{2} + 6 y + 10} = \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}$ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $T = |\sqrt{x^{2} + y^{2}} - a|$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $[- 10; 10]$ của tham số a để $M \geq 2 m$ ?

A. 17

B. 10

C. 15

D. 18

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = 1$ và hàm số $f (t) = t^{4} - t^{2} + 2$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $Q = f (\frac{x + y + 1}{x + 2 y - 2})$ . Tính M + m?

A. $8 \sqrt{3} - 2$

B. $\frac{303}{2}$

C. $\frac{303}{4}$

D. $4 \sqrt{3} + 2$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho x, y là các số thực thỏa mãn 2x+y−13x+y+1=3x+3y+1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+xy+y2

Cho hàm số y=x3−3mx2+3m2−1x+2020. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0;+∞

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y=x−m2−2x−m trên đoạn 0;4 bằng – 1.

Cho hàm số y=x+1x−1 có đồ thị là C. Gọi MxM;yM là một điểm bất kì trên (C). Khi tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất, tính tổng xM+yM

Cho fx=1x2−4x+5−x24+x. Gọi M=maxx∈0;3fx;m=minx∈0;3fx. Khi đó M−m bằng:

Cho f (x) mà đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ bênBất phương trình fx>sinπx2+m nghiệm đúng với mọi x∈−1;3 khi và chỉ khi:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2+y2−4x+6y+4+y2+6y+10=6+4x−x2Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T=x2+y2−a. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn −10;10 của tham số a để M≥2m ?

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn x2+2y2+2xy=1 và hàm số ft=t4−t2+2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Q=fx+y+1x+2y−2. Tính M + m?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x, y là các số thực thỏa mãn $2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + x y + y^{2}$

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x + 2020$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty)$

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x - m^{2} - 2}{x - m}$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng – 1.

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$ . Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm bất kì trên (C). Khi tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất, tính tổng $x_{M} + y_{M}$

Cho $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} - \frac{x^{2}}{4} + x$ . Gọi $M = \max_{x \in [0; 3]} f (x); m = \min_{x \in [0; 3]} f (x)$ . Khi đó $M - m$ bằng:

Cho f (x) mà đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ bên
Bất phương trình $f (x) > \sin \frac{π x}{2} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 3]$ khi và chỉ khi:

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = 1$ và hàm số $f (t) = t^{4} - t^{2} + 2$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $Q = f (\frac{x + y + 1}{x + 2 y - 2})$ . Tính M + m?