Câu hỏi:

17/05/2021 357

Cho x, y là các số thực thỏa mãn $2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + x y + y^{2}$

A. 1

B. $\frac{3}{4}$

C. $- \frac{3}{4}$

D. 0

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 câu Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1$

$\Leftrightarrow 2^{x + y} (3^{x + y} + 1) = 6 x + 6 y + 2$

$\Leftrightarrow 6^{x + y} + 2^{x + y} = 6 (x + y) + 2$

Đặt $x + y = t$ , phương trình trở thành $6^{t} + 2^{t} = 6 t + 2 \Leftrightarrow 6^{t} + 2^{t} - 6 t - 2 = 0$

Xét hàm số $f (t) = 6^{t} + 2^{t} - 6 t - 2$ ta có:

$f' (t) = 6^{t} . \ln 6 + 2^{t} . \ln 2 - 6$

$f'' (t) = 6^{t} . \ln^{2} 6 + 2^{t} . \ln^{2} 2 > 0 \forall t \in R$

Do đó hàm số $y = f' (t)$ đồng biến trên R, suy ra phương trình $f' (t) = 0$ có nhiều nhất 1 nghiệm

Suy ra phương trình $f (t) = 0$ có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có $\{\begin{matrix} f (0) = 6^{0} + 2^{0} - 6.0 - 2 = 0 \\ f (1) = 6^{1} + 2^{1} - 6.1 - 2 = 0 \end{matrix}$ do đó phương trình $f (t) = 0$ có đúng 2 nghiệm t = 0, t = 1.

$\Rightarrow [\begin{matrix} x + y = 0 \\ x + y = 1 \end{matrix}$

TH1: $x + y = 0 \Rightarrow y = - x$ thay vào P ta có: $P = x^{2} + x y + y^{2} = x^{2} \geq 0$

TH2: $x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$ thay vào P ta có:

$P = x^{2} + x (1 - x) + {(1 - x)}^{2} = x^{2} - x + 1$ $= {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi x + y = 0

Đáp án cần chọn là: D

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x + 2020$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty)$

A. 2

B. 1

C. Vô số

D. 3

Lời giải

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1)$

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$

Ta có: $Δ' = m^{2} - m^{2} + 1 = 1 > 0$ , khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $[\begin{matrix} x_{1} = m + 1 \\ x_{2} = m - 1 \end{matrix}$

Ta có BBT:

Ta có:

$f (m - 1) = m^{3} - 3 m + 2022$

$f (m + 1) = m^{3} - 3 m + 2018$

TH1: $0 < m - 1 \Leftrightarrow m > 1$

Ta có: $f (0) = 2020$

Để hàm số có GTNN trên $(0; + \infty)$ thì $f (m + 1) \leq f (0) \Leftrightarrow m^{3} - 3 m + 2018 \leq 2020$

$\Leftrightarrow m^{3} - 3 m - 2 \leq 0$

Xét hàm số $f (m) = m^{3} - 3 m - 2$ ta có $f' (m) = 3 m^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $f (m) \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 2$

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow 1 < m \leq 2$

TH2: $m - 1 \leq 0 < m + 1 \Leftrightarrow - 1 < m \leq 1$ , khi đó GTNN của hàm số trên $(0; + \infty)$ là $f (m + 1)$

Kết hợp 2 trường hợp ta có: $[\begin{matrix} 1 < m \leq 2 \\ - 1 < m \leq 1 \end{matrix}$ mà $m \in Z \Rightarrow m \in \{0; 1; 2\}$

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x - m^{2} - 2}{x - m}$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng – 1.

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Lời giải

ĐK: $x \neq m$

Ta có: $y' = \frac{m^{2} - m + 2}{{(x - m)}^{2}}$ nhận thấy $m^{2} - m + 2 = {(m - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{7}{4} > 0, \forall m$ nên $y' > 0 \forall m$

Hay hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Để hàm số đạt $G T L N$ trên $[0; 4] \Rightarrow m \notin [0; 4] \Leftrightarrow [\begin{matrix} m < 0 \\ m > 4 \end{matrix}$

Suy ra $\max_{[0; 4]} y = y (4) = \frac{4 - m^{2} - 2}{4 - m}$ . Theo bài ra ta có: $\frac{4 - m^{2} - 2}{4 - m} = - 1 \Rightarrow - m^{2} + 2 = m - 4 \Leftrightarrow m^{2} + m + 6 = 0 \Rightarrow [\begin{matrix} m = 2 (k t m) \\ m = - 3 (t m) \end{matrix}$

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$ . Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm bất kì trên (C). Khi tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất, tính tổng $x_{M} + y_{M}$

A. 1

B. $2 - 2 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{2} - 1$

D. $2 - \sqrt{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} - \frac{x^{2}}{4} + x$ . Gọi $M = \max_{x \in [0; 3]} f (x); m = \min_{x \in [0; 3]} f (x)$ . Khi đó $M - m$ bằng:

A. 1

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{7}{5}$

D. $\frac{9}{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho f (x) mà đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ bên
Bất phương trình $f (x) > \sin \frac{π x}{2} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 3]$ khi và chỉ khi:

A. $m < f (0)$

B. $m < f (1) - 1$

C. $m < f (- 1) + 1$

D. $m < f (2)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hai số thực x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \sqrt{y^{2} + 6 y + 10} = \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}$ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $T = |\sqrt{x^{2} + y^{2}} - a|$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $[- 10; 10]$ của tham số a để $M \geq 2 m$ ?

A. 17

B. 10

C. 15

D. 18

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = 1$ và hàm số $f (t) = t^{4} - t^{2} + 2$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $Q = f (\frac{x + y + 1}{x + 2 y - 2})$ . Tính M + m?

A. $8 \sqrt{3} - 2$

B. $\frac{303}{2}$

C. $\frac{303}{4}$

D. $4 \sqrt{3} + 2$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho x, y là các số thực thỏa mãn 2x+y−13x+y+1=3x+3y+1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+xy+y2

Cho hàm số y=x3−3mx2+3m2−1x+2020. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0;+∞

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y=x−m2−2x−m trên đoạn 0;4 bằng – 1.

Cho hàm số y=x+1x−1 có đồ thị là C. Gọi MxM;yM là một điểm bất kì trên (C). Khi tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất, tính tổng xM+yM

Cho fx=1x2−4x+5−x24+x. Gọi M=maxx∈0;3fx;m=minx∈0;3fx. Khi đó M−m bằng:

Cho f (x) mà đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ bênBất phương trình fx>sinπx2+m nghiệm đúng với mọi x∈−1;3 khi và chỉ khi:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2+y2−4x+6y+4+y2+6y+10=6+4x−x2Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T=x2+y2−a. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn −10;10 của tham số a để M≥2m ?

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn x2+2y2+2xy=1 và hàm số ft=t4−t2+2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Q=fx+y+1x+2y−2. Tính M + m?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x, y là các số thực thỏa mãn $2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + x y + y^{2}$

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x + 2020$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty)$

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x - m^{2} - 2}{x - m}$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng – 1.

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$ . Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm bất kì trên (C). Khi tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất, tính tổng $x_{M} + y_{M}$

Cho $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} - \frac{x^{2}}{4} + x$ . Gọi $M = \max_{x \in [0; 3]} f (x); m = \min_{x \in [0; 3]} f (x)$ . Khi đó $M - m$ bằng:

Cho f (x) mà đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ bên
Bất phương trình $f (x) > \sin \frac{π x}{2} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 3]$ khi và chỉ khi:

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = 1$ và hàm số $f (t) = t^{4} - t^{2} + 2$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $Q = f (\frac{x + y + 1}{x + 2 y - 2})$ . Tính M + m?