Cho số nguyên dương n ≥ 4. Người ta đánh dấu n điểm phân biệt trên một đường tròn. Biết rằng số các hình tam giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu thì bằng số các tứ giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu. Giá trị của n là

A. 4.

B. 6.

C. 7.

D. 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi tam giác cần đếm có 3 đỉnh là các điểm được đánh dấu.

Đảo lại, mỗi bộ ba điểm được đánh dấu xác định một tam giác.

Như vậy, do khi đảo cách thứ tự 3 đỉnh đã chọn cho nhau thì tam giác tạo thành không thay đổi nên số các tam giác với các điểm được đánh dấu là số các tổ hợp chập 3 của n và là: \(C_n^3\).

Mỗi tứ giác cần đếm có 4 đỉnh là các điểm được đánh dấu.

Đảo lại, mỗi bộ bốn điểm được đánh dấu xác định một tứ giác.

Như vậy, do khi đảo cách thứ tự 4 đỉnh đã chọn cho nhau thì tứ giác tạo thành không thay đổi nên số các tứ giác với các điểm được đánh dấu là số các tổ hợp chập 4 của n và là: \(C_n^4\).

Biết rằng số các hình tam giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu thì bằng số các tứ giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu. Suy ra \(C_n^3 = C_n^4\), nghĩa là

\(\frac{{n!}}{{3!(n - 3)!}} = \frac{{n!}}{{4!(n - 4)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)(n - 3)!}}{{3.2.1.(n - 3)!}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)(n - 4)!}}{{4.3.2.1.(n - 4)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{3.2.1}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}}{{4.3.2.1}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{3.2.1}} - \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}}{{4.3.2.1}} = 0\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {\frac{1}{6} - \frac{{n - 3}}{{24}}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {\frac{{4 - n + 3}}{{24}}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {\frac{{7 - n}}{{24}}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 1\\n = 2\\n = 7\end{array} \right.\)

Mà n ≥ 4 nên chọn n = 7.