Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngoài của $\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ cắt nhau tại E, các đường phân giác ngoài của $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$cắt nhau tại F. Chứng minh:

a) EF song song với AB và CD

a) Vẽ $BK\perp CD$ ta được AH // BK và AB // HK

Ta có: 

Theo ví dụ 4 thì đoạn thẳng PQ nối trung điểm của hai đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy. Vậy HD = PQ

Gọi E là trung điểm của CM, G là trung điểm của DM. Khi đó EG là đường trung bình của $\Delta MCD\Rightarrow EG=\frac{1}{2}CD.\left(1\right)$

$\Delta CAM$ và $\Delta DBM$ cân tại C và D mà $\widehat{C}=\widehat{D}$ nên

các góc ở đáy của chúng bằng nhau:

$\widehat{CAM}=\widehat{CMA}=\widehat{DMB}=\widehat{DBM}$

=> CA // DM và CM // DB (vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau).

Xét $\Delta CMB$ có EF là đường trung bình => EF // MB.

Xét $\Delta DAM$ có HG là đường trung bình => HG // AM.

Suy ra: EF // HG (vì cùng song song với AB). Vậy tứ giác EFGH là hình thang.

Xét hình thang ACDM có EH là đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo nên EH // AC.

Tương tự, xét hình thang CDBM có: FG // DB.

Do đó $\widehat{EHG}=\widehat{CAM},\widehat{FGH}=\widehat{DBM}.$

Mặt khác $\widehat{CAM}=\widehat{DBM}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{EHG}=\widehat{FGH}$.

Vậy hình thang EFGH là hình thang cân => HF = EG

Từ (1) và (2) suy ra: $HF=\frac{1}{2}CD$.