Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm O sao cho $BO=\frac{1}{2}BC$. Đường thẳng OM cắt OC tại N. Chứng minh rằng: $AN=\frac{1}{4}AC$.

Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngoài của $\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ cắt nhau tại E, các đường phân giác ngoài của $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$cắt nhau tại F. Chứng minh:

Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B nhưng không là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác CAM và DBM cân tại C và D sao cho $\widehat{C}=\widehat{D}$. Gọi H và F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: $HF=\frac{1}{2}CD$.

Cho hình thang cân ABCD (AB < CD). Vẽ $AH\perp CD$. Chứng minh rằng:

a) HD bằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo;

Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định. Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác ABM vuông cân tại B, tam giác CAN vuông cân tại C. Chứng minh rằng khi A di động trên một nửa mặt phẳng bờ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Cho hình thang vuông ABCD tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh:

b) HC bằng đường trung bình của hình thang.