Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B nhưng không là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác CAM và DBM cân tại C và D sao cho $\widehat{C}=\widehat{D}$. Gọi H và F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: $HF=\frac{1}{2}CD$.

Gọi E là trung điểm của CM, G là trung điểm của DM. Khi đó EG là đường trung bình của $\Delta MCD\Rightarrow EG=\frac{1}{2}CD.\left(1\right)$

$\Delta CAM$ và $\Delta DBM$ cân tại C và D mà $\widehat{C}=\widehat{D}$ nên

các góc ở đáy của chúng bằng nhau:

$\widehat{CAM}=\widehat{CMA}=\widehat{DMB}=\widehat{DBM}$

=> CA // DM và CM // DB (vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau).

Xét $\Delta CMB$ có EF là đường trung bình => EF // MB.

Xét $\Delta DAM$ có HG là đường trung bình => HG // AM.

Suy ra: EF // HG (vì cùng song song với AB). Vậy tứ giác EFGH là hình thang.

Xét hình thang ACDM có EH là đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo nên EH // AC.

Tương tự, xét hình thang CDBM có: FG // DB.

Do đó $\widehat{EHG}=\widehat{CAM},\widehat{FGH}=\widehat{DBM}.$

Mặt khác $\widehat{CAM}=\widehat{DBM}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{EHG}=\widehat{FGH}$.

Vậy hình thang EFGH là hình thang cân => HF = EG

Từ (1) và (2) suy ra: $HF=\frac{1}{2}CD$.