Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định. Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác ABM vuông cân tại B, tam giác CAN vuông cân tại C. Chứng minh rằng khi A di động trên một nửa mặt phẳng bờ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Gọi E là trung điểm của CM, G là trung điểm của DM. Khi đó EG là đường trung bình của $\Delta MCD\Rightarrow EG=\frac{1}{2}CD.\left(1\right)$

$\Delta CAM$ và $\Delta DBM$ cân tại C và D mà $\widehat{C}=\widehat{D}$ nên

các góc ở đáy của chúng bằng nhau:

$\widehat{CAM}=\widehat{CMA}=\widehat{DMB}=\widehat{DBM}$

=> CA // DM và CM // DB (vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau).

Xét $\Delta CMB$ có EF là đường trung bình => EF // MB.

Xét $\Delta DAM$ có HG là đường trung bình => HG // AM.

Suy ra: EF // HG (vì cùng song song với AB). Vậy tứ giác EFGH là hình thang.

Xét hình thang ACDM có EH là đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo nên EH // AC.

Tương tự, xét hình thang CDBM có: FG // DB.

Do đó $\widehat{EHG}=\widehat{CAM},\widehat{FGH}=\widehat{DBM}.$

Mặt khác $\widehat{CAM}=\widehat{DBM}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{EHG}=\widehat{FGH}$.

Vậy hình thang EFGH là hình thang cân => HF = EG

Từ (1) và (2) suy ra: $HF=\frac{1}{2}CD$.