Hình thang $A B C D (A B // C D)$ có AC và BD cắt nhau tại O, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 11: Ôn tập chương 3 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

G Hướng dẫn: Thiết lập dãy các tỉ số bằng nhau.

? Giải – Học sinh tự vẽ hình

Kẻ tia OK cắt AB tại M và cắt CD tại N, qua O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E và cắt BC tại F.

Xét $Δ D A B$ có: $E O // A B \Rightarrow \frac{D E}{D A} = \frac{E O}{A B}$ . (1)

Xét $Δ C A B$ có: $O F // A B \Rightarrow \frac{C F}{C B} = \frac{O F}{A B}$ (2)

Xét hình thang $A B C D$ có:

$E F // A B$ và $E F // C D \Rightarrow \frac{E D}{D A} = \frac{C F}{C B}$ (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra: $\frac{E O}{A B} = \frac{O F}{A B} \Rightarrow O E = O F$ (4)

Xét $Δ K E O$ có: $A M // E O \Rightarrow \frac{A M}{E O} = \frac{K A}{K E}$ (5)

Xét $Δ K E F$ có: $A B // E F \Rightarrow \frac{K A}{K E} = \frac{K B}{K F}$ (6)

Xét $Δ K F O$ có: $M B // O F \Rightarrow \frac{M B}{O F} = \frac{K B}{K F}$ (7)

Từ (5), (6) và (7) suy ra $\frac{A M}{O E} = \frac{M B}{O F}$

Vì $O E = O F$ nên $A M = M B$ (8)

Chứng minh tương tự, ta có: $C N = D N$ (9)

Từ (8) và (9) suy ra tia OK đi qua trung điểm của hai đáy AB và CD.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác vuông $A B C, \hat{A} = 90 °, \hat{C} = 30 °$ và đường phân giác BD (D thuộc cạnh AC).

Tính tỉ số $\frac{A D}{C D}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn: Ta lần lượt:sử dụng tính chất đường phân giác.

Xét $Δ A B C$ có $\hat{A} = 90 °$ và $\hat{C} = 30 ° \Rightarrow A B = \frac{1}{2} B C \Leftrightarrow B C = 2 A B = 2.12, 5 = 25 (cm)$ .

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có BD là đường phân giác góc B suy ra:

$\frac{A D}{C D} = \frac{A B}{B C} = \frac{12, 5}{25} = \frac{1}{2}$ .

Câu 2

Cho tam giác cân $A B C (A B = A C)$ , vẽ các đường cao $B H, C K$ .

Cho biết $B C = a, A B = A C = b$ .Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn: Ta lần lượt:sử dụng sự đồng dạng của hai tam giác để nhận được tỉ số tương ứng giữa các cạnh.

Media VietJack

Vẽ đường cao $A I (I \in B C)$ của $Δ A B C$ cân tại A nên AI cũng là đường trung tuyến. Suy ra:

$I B = I C = \frac{1}{2} B C = \frac{a}{2}$

Xét hai tam giác vuông $A I B$ và CKB có:

$B chung \Rightarrow Δ A I B ∽ Δ C K B \Rightarrow \frac{B I}{B K} = \frac{A B}{B C} \Leftrightarrow \frac{\frac{a}{2}}{B K} = \frac{b}{a} \Rightarrow B K = \frac{a^{2}}{2 b}$ .

$\Rightarrow A K = A B - B K = b - \frac{a^{2}}{2 b} = \frac{2 b^{2} - a^{2}}{2 b}$ .

Trong $Δ A B C$ có $K H // B C$ (theo câu b) nên:

$\frac{A K}{A B} = \frac{K H}{B C} \Leftrightarrow \frac{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2 b}}{b} = \frac{K H}{a} \Rightarrow K H = \frac{a (2 b^{2} - a^{2})}{2 b^{2}}$ .

Câu 3