Hình thang $ABCD\left(AB\text{//}CD\right)$ có AC và BD cắt nhau tại O, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.

G Hướng dẫn: Thiết lập dãy các tỉ số bằng nhau.

? Giải – Học sinh tự vẽ hình

Kẻ tia OK cắt AB tại M và cắt CD tại N, qua O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E và cắt BC tại F.

Xét $\Delta DAB$ có: $EO\text{//}AB\Rightarrow \frac{DE}{DA}=\frac{EO}{AB}$.                             (1)

Xét $\Delta CAB$ có: $OF\text{//}AB\Rightarrow \frac{CF}{CB}=\frac{OF}{AB}$                              (2)

Xét hình thang $ABCD$ có:

            $EF\text{//}AB$ và $EF\text{//}CD\Rightarrow \frac{ED}{DA}=\frac{CF}{CB}$                       (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra: $\frac{EO}{AB}=\frac{OF}{AB}\Rightarrow OE=OF$              (4)

Xét $\Delta KEO$ có: $AM\text{//}EO\Rightarrow \frac{AM}{EO}=\frac{KA}{KE}$                           (5)

Xét $\Delta KEF$ có: $AB\text{//}EF\Rightarrow \frac{KA}{KE}=\frac{KB}{KF}$                              (6)

Xét $\Delta KFO$ có: $MB\text{//}OF\Rightarrow \frac{MB}{OF}=\frac{KB}{KF}$                            (7)

Từ (5), (6) và (7) suy ra $\frac{AM}{OE}=\frac{MB}{OF}$

Vì $OE=OF$ nên $AM=MB$                                            (8)

Chứng minh tương tự, ta có: $CN=DN$                            (9)

Từ (8) và (9) suy ra tia OK đi qua trung điểm của hai đáy AB và CD.