Cho đoạn thẳng AB . Kẻ tia Ax  bất kì. Trên tia Ax  lấy các điểm C, D, E  sao cho AC = CD = DE  (hình vẽ). Kẻ đoạn thẳng EB. Qua C, D  kẻ các đường thẳng song song với EB. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phần bằng nhau.

Vẽ hình xong ta dự đoán rằng $△$BDC đều. Để chứng minh $△$BDC đều ta chỉ cần chứng minh $△$BDC cân đỉnh B  là đủ.

Suy ra ta cần vẽ thêm đường phụ $BH\perp DC$,

Vẽ $BH\perp DC\left(H\in DC\right)$

Ta có $AD\perp DC\left(\widehat{D}={90}^0\right)$  nên AD // DH.

Mặt khác AB // DC, AD // BH  nên AB = DH  ( tính chất đoạn chắn)

Mà DC = 2AB (GT)  và AB = DH => DC = 2DH

Suy ra H là trung điểm của  DC.

$△$BDC có BH  là đường cao và là trung tuyến nên $△$BDC cân tại B

Suy ra $BD=BC\Rightarrow BD=DC=BC\Rightarrow \Delta BDC$ đều $\Rightarrow \widehat{BCD}={60}^0$

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{BCD}={180}^0$  (vì AB // DC ) do đó :

+ Kẻ NP // AB  ta có $\widehat{NPC}=\widehat{MBP}$ ( 2 góc đồng vị); mà $\widehat{B}=\widehat{C}$ (GT)

Suy ra $\widehat{NPC}=\widehat{C}$ hay $△$NPC  cân

Suy ra NP = NC  mà NC = MA  nên NP = MA

Mà NP // MA  nên tứ giác AMPN  là hình bình hành có I  là trung điểm MN

Suy ra I là trung điểm AP

+ Kẻ IH  và AK  cùng vuông góc với BC  ta có IH  là đường trung bình của $△$APK  nên $IH=\frac{AK}{2}$  (không đổi)