Câu hỏi:

12/07/2024 4,004

Bổ đề về hình vuông

Cho hình vuông ABCD. Nếu các điểm M, N, P, Q lần lượt nằm trên các đường thẳng AB, BC, CD và DA thì

a) $M P = N Q \Leftrightarrow M P ⊥ N Q$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 15: Hình vuông có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình vuông ABCD. Nếu các điểm M, N, P, Q lần lượt nằm trên các đường thẳng AB, BC, CD và DA thì . (ảnh 1)

Ta cần chứng minh bài toán đúng với các điểm M, N, P, Q nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA (các trường hợp còn lại chứng minh tương tự).

Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M, N đến hai cạnh CD, DA và E, I, O thứ tự là giao điểm của MH với NK, MP với NQ.

Áp dụng định nghĩa vào hình vuông ABCD và tính chất góc đồng vị của KN // DC, ta được $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{E} = \hat{K} = \hat{N} = 90^{0}$ .

Các tứ giác MBHC, KNCD và MBNE là các tứ giác có ba góc vuông nên chúng là các hình chữ nhật.

a) $M P = N Q \Rightarrow M P ⊥ N Q$ .

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hai hình chữ nhật MBCH, KNCD và hình vuông ABCD ta được:

$\{\begin{matrix} M H = B C, N K = C D \\ B C = C D, M P = N Q \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} M H = M K \\ M P = N Q \end{matrix} \Rightarrow Δ M H P = Δ N K Q$ (trường hợp cạnh huyền, cạnh góc vuông).

Áp dụng tính chất về góc vào hai tam giác bằng nhau ở trên và tính chất của hai góc đối đỉnh ta có

$\{\begin{matrix} \hat{M_{1}} = \hat{N_{1}} \\ \hat{I_{1}} = \hat{I_{2}} \end{matrix} \Rightarrow \hat{O} = \hat{E} = 90^{0}$ (vì hai tam giác, có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc thứ ba cũng bằng nhau).

Vậy MP vuông góc với NQ tại O.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho BM = CN và $A M ⊥ B N$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho BM = CN và AM vuông BN (ảnh 1)

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:

$\{\begin{matrix} A B = B C \\ \hat{A} = \hat{B} = 90^{0} \\ B M = C N \end{matrix}$

$\Rightarrow Δ A B M = Δ B C N$ (c.g.c), nên AM = BN.

Gọi I là giao diểm của AM và BN.

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác vuông ABM và BCN kết quả của hai tam giác bằng nhau, ta được:

$\{\begin{matrix} \hat{A_{1}} + \hat{M_{1}} = 90^{0} \\ \hat{B_{1}} = \hat{A_{1}} \end{matrix} \Rightarrow \hat{B_{1}} + \hat{M_{1}} = 90^{0}$ (1)

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác BIM ta có $\hat{B_{1}} + \hat{M_{1}} + \hat{I_{1}} = 180^{0}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{I} = 180^{0} - 90^{0} = 90^{0}$ hay $A M ⊥ B N$ .

Câu 2

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh BC, BD lấy hai điểm M, N sao cho $\hat{M A N} = 45^{0}$ , trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BM. Hãy tính:

a) Số đo góc KAN.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh BC, BD lấy hai điểm M, N sao cho MAN = 45 độ. Hãy tính: a) Số đo góc KAN. (ảnh 1)

a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được $\{\begin{matrix} \hat{A} = \hat{D} = 90^{0} \\ A B = A D, B M = D K \end{matrix}$

$\Rightarrow Δ A B M = Δ A D K$ (c-g-c).

Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau ở trên và giả thiết, ta có:

$\{\begin{matrix} \hat{A_{1}} + \hat{A_{2}} + \hat{A_{3}} = 90^{0} \\ \hat{A_{1}} = \hat{A_{4}}, \hat{A_{2}} = 45^{0} \end{matrix} \Rightarrow \hat{K A N} = \hat{A_{3}} + \hat{A_{4}} = \hat{A_{1}} + \hat{A_{3}} = 90^{0} - 45^{0} = 45^{0}$ .

Câu 3

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, qua A kẻ $A N ⊥ A M$ (điểm N thuộc tia đối của tia DC). Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:

a) AM = AN.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

b) Chu vi tam giác MCN theo a .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

b) $M P ⊥ N Q \Rightarrow M P = N Q$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

b) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Bổ đề về hình vuông

Cho hình vuông ABCD. Nếu các điểm M, N, P, Q lần lượt nằm trên các đường thẳng AB, BC, CD và DA thì

a) $M P = N Q \Leftrightarrow M P ⊥ N Q$ .

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho BM = CN và $A M ⊥ B N$ .

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh BC, BD lấy hai điểm M, N sao cho $\hat{M A N} = 45^{0}$ , trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BM. Hãy tính:

a) Số đo góc KAN.

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, qua A kẻ $A N ⊥ A M$ (điểm N thuộc tia đối của tia DC). Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:

a) AM = AN.

b) $M P ⊥ N Q \Rightarrow M P = N Q$ .