Bổ đề về hình vuông

Cho hình vuông ABCD. Nếu các điểm M, N, P, Q lần lượt nằm trên các đường thẳng AB, BC, CD và DA thì

a) $MP=NQ\iff MP\perp NQ$.

Ta cần chứng minh bài toán đúng với các điểm M, N, P, Q nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA (các trường hợp còn lại chứng minh tương tự).

Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M, N đến hai cạnh CD, DA và E, I, O thứ tự là giao điểm của MH với NK, MP với NQ.

Áp dụng định nghĩa vào hình vuông ABCD và tính chất góc đồng vị của KN // DC, ta được $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{E}=\widehat{K}=\widehat{N}={90}^0$.

Các tứ giác MBHC, KNCD và MBNE là các tứ giác có ba góc vuông nên chúng là các hình chữ nhật.

a)   $MP=NQ\Rightarrow MP\perp NQ$.

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hai hình chữ nhật MBCH, KNCD và hình vuông ABCD ta được:

      $\left\{\begin{array}{c}MH=BC,NK=CD\\ BC=CD,MP=NQ\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}MH=MK\\ MP=NQ\end{array}\right.\Rightarrow \Delta MHP=\Delta NKQ$ (trường hợp cạnh huyền, cạnh góc vuông).

Áp dụng tính chất về góc vào hai tam giác bằng nhau ở trên và tính chất của hai góc đối đỉnh ta có

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{M_1}=\widehat{N_1}\\ \widehat{I_1}=\widehat{I_2}\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{O}=\widehat{E}={90}^0$ (vì hai tam giác, có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc thứ ba cũng bằng nhau).

Vậy MP vuông góc với NQ tại O.