b)  Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

b) 

Cách 1 (hình 105a): Nối IA, IC thì IA và IC lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông AMN, CMN.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vuông trên và định nghĩa hình vuông ta được $\left\{\begin{array}{c}IA=IC=\frac{1}{2}MN\\ BA=BC\end{array}\right.$.

Điều này chứng tỏ hai điểm B và I cách đều hai điểm A và C nên BI là đường trung trực của đoạn AC. Mặt khác theo tính chất về đường chéo của hình vuông thì BD là trung trực của AC mà đoạn AC thì chỉ có một đường trung trực nên BI trùng với BD hay B, I, D thẳng hàng.

Cách 2 (hình 105b):

Qua M kẻ MP // BD  (1) (điểm $P\in DC$) suy ra DI // MP (2).

Lại có NI = MI (3) theo giả thiết. Từ (2) và (3) suy ra ND = DP (4)
theo định lí đường trung bình.

Từ (3) và (4) ta có DI là đường trung bình của tam giác NMP.

Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác NMP ta được DI // MP (5).
Từ (1) và (5) suy ra B, I, D thẳng hàng, vì từ điểm I ở ngoài đường thẳng MP chỉ kẻ được một đường thẳng song song với MP.

Cách 3: Qua M kẻ MH // ND (1) (điểm $H\in BD$) thì $\widehat{D_1}=\widehat{H_1}$ (2) do đồng vị.

Mà BD là đường chéo của hình vuông ABCD nên BD là đường phân giác của hai góc vuông B và D do đó $\widehat{D_1}=\widehat{H_1}={45}^0$ (3).

Từ (2) và (3) ta có BM = MH (4) vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau.

Kết hợp (1) với (4) ta được tứ giác NHMD có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành NHMD, ta được đường chéo DH đi qua trung điểm I của đường chéo NM nên BD đi qua I.

Điều đó chứng tỏ B, I, D thẳng hàng.