Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, qua A kẻ $AN\perp AM$ (điểm N thuộc tia đối của tia DC). Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:

a) AM = AN.

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:

      $\left\{\begin{array}{c}AB=BC\\ \widehat{A}=\widehat{B}={90}^0\\ BM=CN\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta BCN$ (c.g.c), nên AM = BN.

Gọi I là giao diểm của AM và BN.

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác vuông ABM và BCN kết quả của hai tam giác bằng nhau, ta được:

      $\left\{\begin{array}{c}\widehat{A_1}+\widehat{M_1}={90}^0\\ \widehat{B_1}=\widehat{A_1}\end{array}\Rightarrow \widehat{B_1}+\widehat{M_1}={90}^0\right.$                                               (1)

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác BIM ta có $\widehat{B_1}+\widehat{M_1}+\widehat{I_1}={180}^0$     (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{I}={180}^0-{90}^0={90}^0$ hay $AM\perp BN$.

a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được $\left\{\begin{array}{c}\widehat{A}=\widehat{D}={90}^0\\ AB=AD,BM=DK\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ADK$ (c-g-c).

Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau ở trên và giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}={90}^0\\ \widehat{A_1}=\widehat{A_4},\widehat{A_2}={45}^0\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{KAN}=\widehat{A_3}+\widehat{A_4}=\widehat{A_1}+\widehat{A_3}={90}^0-{45}^0={45}^0$.