Dạng 2. Sử dụng định nghĩa, tính chất của hình vuông để chứng minh các quan hệ bằng nhau, song song, vuông góc, thẳng hàng có đáp án

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:

      $\left\{\begin{array}{c}AB=BC\\ \widehat{A}=\widehat{B}={90}^0\\ BM=CN\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta BCN$ (c.g.c), nên AM = BN.

Gọi I là giao diểm của AM và BN.

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác vuông ABM và BCN kết quả của hai tam giác bằng nhau, ta được:

      $\left\{\begin{array}{c}\widehat{A_1}+\widehat{M_1}={90}^0\\ \widehat{B_1}=\widehat{A_1}\end{array}\Rightarrow \widehat{B_1}+\widehat{M_1}={90}^0\right.$                                               (1)

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác BIM ta có $\widehat{B_1}+\widehat{M_1}+\widehat{I_1}={180}^0$     (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{I}={180}^0-{90}^0={90}^0$ hay $AM\perp BN$.

Ta cần chứng minh bài toán đúng với các điểm M, N, P, Q nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA (các trường hợp còn lại chứng minh tương tự).

Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M, N đến hai cạnh CD, DA và E, I, O thứ tự là giao điểm của MH với NK, MP với NQ.

Áp dụng định nghĩa vào hình vuông ABCD và tính chất góc đồng vị của KN // DC, ta được $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{E}=\widehat{K}=\widehat{N}={90}^0$.

Các tứ giác MBHC, KNCD và MBNE là các tứ giác có ba góc vuông nên chúng là các hình chữ nhật.

a)   $MP=NQ\Rightarrow MP\perp NQ$.

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hai hình chữ nhật MBCH, KNCD và hình vuông ABCD ta được:

      $\left\{\begin{array}{c}MH=BC,NK=CD\\ BC=CD,MP=NQ\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}MH=MK\\ MP=NQ\end{array}\right.\Rightarrow \Delta MHP=\Delta NKQ$ (trường hợp cạnh huyền, cạnh góc vuông).

Áp dụng tính chất về góc vào hai tam giác bằng nhau ở trên và tính chất của hai góc đối đỉnh ta có

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{M_1}=\widehat{N_1}\\ \widehat{I_1}=\widehat{I_2}\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{O}=\widehat{E}={90}^0$ (vì hai tam giác, có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc thứ ba cũng bằng nhau).

Vậy MP vuông góc với NQ tại O.

b)  $MP\perp NQ\Rightarrow MP=NQ$.

Xét hai tam giác MEI và NEI có $\widehat{I_1}=\widehat{I_2}$ vì đối đỉnh, $\widehat{O}=\widehat{E}={90}^0$ suy ra $\widehat{M_1}=\widehat{N_1}$ (1) vì hai tam giác, có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cũng bằng nhau.

Lại có $\widehat{H}=\widehat{K}={90}^0,MH=NK$ (2) theo câu a).

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta MHB=\Delta NKQ$ (c-g-c) nên MP = NQ.

a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được $\left\{\begin{array}{c}\widehat{A}=\widehat{D}={90}^0\\ AB=AD,BM=DK\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ADK$ (c-g-c).

Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau ở trên và giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}={90}^0\\ \widehat{A_1}=\widehat{A_4},\widehat{A_2}={45}^0\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{KAN}=\widehat{A_3}+\widehat{A_4}=\widehat{A_1}+\widehat{A_3}={90}^0-{45}^0={45}^0$.

b)  Đặt BM = DK = x thì $KN=x+DN,MC=a-x,CN=a-DN$.

Từ kết quả của hai tam giác bằng nhau ở câu a) và giả thiết, ta được:

      $\left\{\begin{array}{c}AM=AK,AN=AN\\ \widehat{MAN}=\widehat{KAN}={45}^0\end{array}\Rightarrow \Delta AMN=\Delta AKN\right.$ (c-g-c) suy ra MN = KN.

Vậy chu vi tam giác MCN bằng $MC+CN+NM=a-x+a-DN+x+DN=2a$.