Dạng 4. Bài tập tự luyện số 1 có đáp án

Hình vuông có các tính chất sau về đường chéo.

a)   Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (có ở hình bình hành).

b)  Hai đường chéo bằng nhau (có ở hình chữ nhật).

c)   Hai đường chéo vuông góc với nhau (có ở hình thoi).

d)  Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình vuông (có ở hình thoi).

Tứ giác KHED là hình vuông.

Giải thích: Tam giác vuông BDK có $\widehat{B}={45}^0$ nên là tam giác cân,
do đó BD = DK. Chứng minh tương tự, HE = EC.

Vì BD = DE = EC theo giả thiết, nên:

       KD = DE = EH.

Tứ giác KHED có $KD\parallel HE,KD=HE$ nên là hình bình hành.

Hình bình hành này lại có $\widehat{D}={90}^0$ nên nó là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật này lại có KD = DE nên nó là hình vuông.

Vì $\Delta NCD$ có $\widehat{C_1}=\widehat{D_1}={45}^0$ nên vuông cân tại .

Suy ra $\widehat{N}={90}^0$ và ND = NC (1).

Chứng minh tương tự, $\widehat{P}=\widehat{Q}={90}^0$. Tứ giác MNPQ có ba góc
vuông nên là hình chữ nhật.

$\Delta AMD=\Delta BPC$ (g-c-g) => MD = PC (2).

Trừ theo vế đẳng thức (1) cho đẳng thức (2) ta được NM = NP.

Như vậy hình chữ nhật MNPQ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.

Chứng minh bốn tam giác vuông $EFG,IHG,CBI,CDE$ bằng nhau để suy ra EG = GI = IC và $\widehat{C_1}=\widehat{C_3}$.

Sau đó chứng minh $\widehat{ECI}={90}^0$.