Dạng 3. Tìm điều kiện để một hình trở thành hình vuông có đáp án

a) Tứ giác AEDF là hình bình hành.

Giải thích: Từ giả thiết $\left\{\begin{array}{c}DE\parallel AC\\ DF\parallel AB\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}DE\parallel AF\\ DF\parallel AE\end{array}\right.$ .

Tứ giác AEDF có các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành.

b) Giả sử AEDF là hình thoi khi đó theo tính chất vẽ đường chéo của hình thoi thì AD là đường phân giác của góc .

Vậy nếu D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi.

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì hình bình hành AEDF là hình chữ nhật. Nếu tam giác ABC vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AEDF vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên nó là hình vuông.

Trước hết ta chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành (xem Ví dụ 1, Dạng 1, Chủ đề 5)

a) MNPQ là hình chữ nhật $\iff MN\perp NP$ 

$\iff AC\perp BD$ (vì $MN\parallel AC,NP\parallel BD)$.

b) MNPQ là hình thoi <=> MN = NP 

<=> AC = BD (vì $MN=\frac{1}{2}AC,NP=\frac{1}{2}BD$)

Điều kiện cần tìm là các đường chéo AC và BD bằng nhau.

c) MNPQ là hình vuông $\iff \left\{\begin{array}{c}MN\perp PQ\\ MN=PQ\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}AC\perp BD\\ AC=BD\end{array}\right.$.

Điều kiện cần tìm là các đường chéo AC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau.